Differentialgleichungssystem 1. Ordnung

04.07.2015, 12:02	Eiffel	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichungssystem 1. Ordnung Hi zusammen, hab hier folgendes Differentialgleichungssystem vorliegen: $\begin{eqnarray} \vec{Y}' (X) = \begin{pmatrix} 2 & -5 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ mit dem Anfangswert: $\begin{eqnarray} \vec{Y}' (0) = \begin{pmatrix} 1 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Um das Anfangswertproblem lösen zu können müssen ja zunächst die Eigenewerte sowie die Eigenvektoren ermittelt werden. Also: det (A - $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ E) = 0 $\begin{eqnarray} \begin{vmatrix} 2-\lambda & -5 \\ 1 & 4-\lambda \end{vmatrix} \end{eqnarray}$ = 0 (2- $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ )(4- $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ ) - (-51) $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ ^2 - 6 $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ + 13 Durch einsetzen in die pq-Formel erhalten wir jetzt die Eigenwerte $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ 1 = 3 + 2i $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ 2 = 3 - 2i Für die Eigenvektoren müssen wir ja nun (A - $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ E) $\begin{eqnarray} \vec{V} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \vec{0} \end{eqnarray}$ ausrechnen. Also: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2-\lambda & -5 \\ 1 & 4-\lambda \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{V} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \vec{0} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ 1 = 3 + 2i $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -1+2i & -5 \\ 1 & 1+2i \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec{V} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} \vec{0} \end{eqnarray}$ Zeilenvektor 1 $\begin{eqnarray} (X) \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -1+2i \\ -5 \end{pmatrix} \cdot X^\perp \end{eqnarray}$ Also $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -1+2i \\ -5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -1+2i \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ = x = 0 Somit ist $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 5 \\ -1+2i \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ der Eigenvektor von $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ 1 = 3 + 2i Der Eigenvektor für $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ 2 = 3 - 2i wäre dann demnach $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 5 \\ -1- 2i \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Sofern Eigenwerte und Eigenvektoren richtig wären könnte man jetzt die Lösung des DGLS aufstellen und das AWP ausrechnen. Ich hatte bislang immer nur lin. homog. DGLS ... bin mir in dem Fall also nicht sicher ob meine Berechnungen richtig sind. Könntet ihr bitte einmal drüber schauen und sagen ob es so richtig ist und wenn dort Fehler sind, bitte eine richtige Antwort geben + Rechenweg? Danke im Voraus lg Eiffel
04.07.2015, 20:04	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Differentialgleichungssystem 1. Ordnung Die Eigenwerte stimmen. Berechnung der Eigenvektoren am Beispiel $\begin{eqnarray} \lambda_{1} =3 +2j \end{eqnarray}$ Lambda eingesetzt in die Determinante ergibt folg. System: $\begin{eqnarray} (-1 -2j) x_{1} - 5 x_{2} =0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_{1} +(1-2j)=0 \end{eqnarray}$ Auch diese beiden Gleichungen sind linear abhängig.Es genügt , eine Variable frei zu wählen und die andere durch eine der beiden Gleichungen zu bestimmen. Ich setze also $\begin{eqnarray} x_{2} =1 \end{eqnarray}$ und erhalte für $\begin{eqnarray} x_{1} =-1+2j \end{eqnarray}$ Das Gleiche mache ich für den 2. Wert. Damit lauten die Eigenvektoren: $\begin{eqnarray} -1 +2j; 1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} -1 -2j;1 \end{eqnarray}$

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