Grenzwert Logarithmengesetze

04.07.2015, 13:19

Tempi

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Grenzwert Logarithmengesetze

Hi, bin mal wieder auf einen Grenzwert gestoßen bei dem ich nicht weiterkomme.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } x(ln(x+2)-ln(x+1)) \end{eqnarray*}$

Die erste Idee ist den $\begin{eqnarray*} ln \end{eqnarray*}$ zusammenfassen und das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ mit hineinziehen.

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty }ln\left(\left(\frac{x+2}{x-1}\right)^x\right)<br /> \end{eqnarray*}$

Dann kann ich den Limes noch in den $\begin{eqnarray*} ln \end{eqnarray*}$ hineinziehen

$\begin{eqnarray*} ln\left(\lim_{x \to \infty }\left(\frac{x+2}{x-1}\right)^x\right) <br /> \end{eqnarray*}$

Naja und hier komm ich nicht weiter weil mir das "hoch x" zu schaffen macht

04.07.2015, 13:22

Bjoern1982

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Denke dabei mal an diesen sehr bekannten Grenzwert:

https://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Zahl#Definition

04.07.2015, 14:00

Tempi

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Daran hab ich auch schon gedacht, aber das hat doch gar nicht die Form $\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{n} \right)^n \end{eqnarray*}$

Wenn ich versuche irgendwie umzuformen mit $\begin{eqnarray*} \left(\frac{(x-1)+2+1}{x-1} \right) ^x \end{eqnarray*}$ dann komme ich nur bis auf $\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{3}{x-1} \right) ^x \end{eqnarray*}$

04.07.2015, 14:13

Bjoern1982

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Am Anfang hat es noch nicht diese Form, aber jetzt mit deinem $\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{3}{x-1} \right) ^x \end{eqnarray*}$ kommen wir der Sache ja schon näher.

Nun wäre es eben noch schön, wenn $\begin{eqnarray*} \frac{3}{x-1}=\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ gelten würde und da könnte man ja dann ein bisschen (sinnvoll) umformen... Augenzwinkern

Augenzwinkern

04.07.2015, 14:24

Tempi

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Ich komme nicht darauf wie man das umformt. Vor allem der Nenner macht mir Schwierigkeiten verwirrt

verwirrt

04.07.2015, 14:28

Bjoern1982

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Forme die Gleichung einmal nach x-1 und einmal nach x um und drücke den Term damit nur noch durch n aus.

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04.07.2015, 14:42

Tempi

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Okay nach x-1 umgeformt:
$\begin{eqnarray*} x-1= 3n \end{eqnarray*}$

Nach x:
$\begin{eqnarray*} x= 3n+1 \end{eqnarray*}$

Nach n:
$\begin{eqnarray*} n=\frac{1}{3} (x-1) \end{eqnarray*}$

Ich habe nur noch nicht versanden wie ich das jetzt in meine ursprüngliche Gleichung unterbringen kann.

Irgendwie so?

$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{\frac{1}{3} (x-1)} \right) ^x \end{eqnarray*}$

04.07.2015, 14:54

Bjoern1982

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Naja das ist ja wieder dasselbe wie $\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{3}{x-1} \right) ^x \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

Augenzwinkern

Zitat:

Okay nach x-1 umgeformt:
$\begin{eqnarray*} x-1= 3n \end{eqnarray*}$

Nach x:
$\begin{eqnarray*} x= 3n+1 \end{eqnarray*}$

Nur bis dahin (so hatte ich es ja gesagt) und dann einsetzen, denn du möchtest ja jetzt alles nur noch durch n ausdrücken.

04.07.2015, 15:16

Tempi

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Okay $\begin{eqnarray*} x= 3n+1 \end{eqnarray*}$ eingesetzt in $\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{3}{x-1} \right) ^x \end{eqnarray*}$ ist dann $\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{n} \right) ^{3n+1} \end{eqnarray*}$ aber jetzt ist das "hoch x" doch kaputt? verwirrt

verwirrt

04.07.2015, 15:20

Bjoern1982

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Die Variable ist (hier) ja egal, denn wenn x gegen unendlich strebt, dann tut es 3n+1 für n gegen unendlich ebenso.
Versuche jetzt noch durch Anwendung von entsprechenden Potenzgesetzen, einen Faktor $\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{n} \right)^n \end{eqnarray*}$ zu erzeugen.

04.07.2015, 15:33

Tempi

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Sowas hier?

$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{n} \right) ^{3n+1} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\left(1+\frac{1}{n} \right) ^{n}\left(1+\frac{1}{n} \right) ^{2n+1} \end{eqnarray*}$

04.07.2015, 15:37

Bjoern1982

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Joa, probier doch alternativ mal sowas wie $\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{n} \right) ^{3n+1}=\left(1+\frac{1}{n} \right)^{3n} \cdot \left(1+\frac{1}{n} \right)=... \end{eqnarray*}$

04.07.2015, 15:50

Tempi

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Ganz ausformuliert wäre es ja dann das hier?

$\begin{eqnarray*} \left(1+\frac{1}{n} \right) ^{3n+1}=\left(1+\frac{1}{n} \right)^{3n} \cdot \left(1+\frac{1}{n} \right)=\left(1+\frac{1}{n} \right) ^{n}\left(1+\frac{1}{n} \right) ^{n}\left(1+\frac{1}{n} \right) ^{n}\left(1+\frac{1}{n} \right) \end{eqnarray*}$

04.07.2015, 16:00

Bjoern1982

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Genau.

Freude

Und was bleibt jetzt übrig, wenn man n gegen unendlich streben lässt ?

04.07.2015, 16:11

Tempi

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$\begin{eqnarray*} e^3 \end{eqnarray*}$ geschockt

geschockt

Kommt man da auch durch andere Überlegungen hin oder muss man immer diese Umformschritte machen? mit nach n auflösen etc.?

04.07.2015, 16:14

Bjoern1982

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Naja du siehst ja, dass man irgendwie den bekannten Grenzwert für e ins Spiel bringen muss.
Insofern ist dieser Weg eigentlich relativ üblich (und sooo ein Aufwand ist das ja nun auch nicht).
Ob es noch andere Wege gibt, dazu kann sich gerne noch jemand anderes äußern. smile

smile

04.07.2015, 16:43

Tempi

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Ja stimmt so schwer ist die Methode wirklich nicht Hammer

Hammer

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