Orthogonalbasis

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Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »
Orthogonalbasis
Hallo.

Sorry, ich verstehe es einfach nicht.

Ich soll eine Orthonormalbasis finden:

und zwar soll parallel sein zu v. soll in der Ebenen sein, die durch den Ursprung und durch v und w verläuft und die Basis soll negativ orientiert sein.

, und

Ideen:

also für kann ich mir ja irgendeinen Vektor aussuchen, der linear abhängig ist zu v. Ich habe gewählt und diesen dann normiert zu:

bei der zwei wollte ich ein LGS aufstellen:



Macht das Sinn?

Danke!
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

muss orthogonal zu und dem Normalenvektor der Ebene sein.
Darüber lässt er sich direkt berechnen.
Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Helferleinsmile

Okay, also mache ich folgendes:

LGS:



Normalenvektor ist gleich

dann wäre die zweite Gleichung:



oder?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Ich dachte eher an das Vektor(Kreuz)produkt, aber so müsste es auch klappen.
Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »

naja.

Ich komme dann auf:



und da sehe ich ja schon, dass ich "frei" wählen kann, ist das so?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Nö, nicht komplett frei. Du hast aus den zwei Gleichungen einfach eine gemacht.
Die zweite existiert aber immer noch und ist für die Lösung relevant (ganz davon abgesehen, dass Dir das Gleichsetzen nichts bringt, da immer noch alle drei Variablen vorhanden sind)
 
 
Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »

okay, also muss ich einen anderen Weg wählen.





1. Gleichung mit 3 multiplizieren und von der 2. abziehen.

dann erhalte ich:





dann erhalte ich



dann wähle ich dann ist

und

oder?
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

das stimmt
Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »

supismile

Aber jetzt musst du mir nochmal auf die Sprünge helfen.

negativ orientiert ist bei uns so definiert, dass die Determinante negativ ist. Was bring mir das jetzt beim finden von Vektor b3?


Ich mein ich würde jetzt das Kreuzprodukt von b1 und b2 ausrechnen.

Dann hätte ich:



Ich würde jetzt die Determinante ausrechnen:

Dann hätte ich:



Ich soll aber negativ orientieren, also rechne ich die Orthonormalbasis

Dann hätte ich als Orthonormalbasis:

Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Die Determinante ist richtig berechnet. Wenn es nur um den Determinantenwert geht hätte es allerdings auch genügt nur einen der drei Vektoren mit -1 zu multiplizieren.
Jefferson1992 Auf diesen Beitrag antworten »

oki. danke dirsmile
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