Integral Mantelfläche berechnen

05.07.2015, 01:46	Pfuscher	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral Mantelfläche berechnen Hallo, wir sollen in einer Aufgabe die Mantelfläche der Kurve $\begin{eqnarray} y=\sqrt{x} \end{eqnarray}$ ; $\begin{eqnarray} 0\leq x\leq 4 \end{eqnarray}$ berechnen, wenn diese um die Y-Achse rotiert. Nun zu meinem Ansatz: $\begin{eqnarray} x=y^{2} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} x'=2y \end{eqnarray}$ Mit der Formel für die Flächenberechnung: $\begin{eqnarray} M_{y}=2\pi\int_{c}^{d} \! x\sqrt{1+(x')^2} \, dy \end{eqnarray}$ und der Umformung der Ursprungsfunktion erhalte ich die für meine Zwecke geeignete Form: $\begin{eqnarray} M_{y}=2\pi\int_{0}^{2} \! y^2\sqrt{1+4y^2} \, dy \end{eqnarray}$ Hacke ich nun dieses Integral in den Taschenrechner ein kommt die anscheinend richtige Lösung 53,226 (FE) raus. Dies genügt aber für die Prüfung nicht. Mit der Integrationsformel Nr. 118 der Papula Formelsammlung sollte das ganze dann weitergehen. Leider setzt es hierbei aus. Hier die Formel 118: bilder-upload.eu/show.php?file=f08c3b-1436053465.jpg Dass ich hier das x durch mein y ersetzen muss ist mir klar, aber was mach ich mit der 4 vor meinem y unter der Wurzel. Wie beziehe ich die mit ein? So falsch kann mein Lösungsansatz eigentlich nicht sein, oder? Ich hoffe Ihr versteht was ich meine Vielen Dank im Voraus und einen schönen Sonntag. LG
05.07.2015, 03:09	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
und warum substituierst du nicht z=2y ? oder $\begin{eqnarray} 2 y^2\sqrt {\tfrac 14 +y^2} \end{eqnarray}$ als Integrand ?
05.07.2015, 08:13	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich schätze, daß das hier nicht so einfach wird. Mit der Substitution $\begin{align} y = \frac{1}{2} \sinh t \end{align}$ habe ich $\begin{align} M = 2 \pi \int \limits_0^2 y^2 \sqrt{1+4y^2} ~ \dd y = \frac{1}{32} \pi \int \limits_0^{\operatorname{arsinh}(4)} \left( \cosh(4t) - 1 \right) ~ \dd t = \frac{1}{32} \pi \cdot \left( 132 \sqrt{17} - \operatorname{arsinh}(4) \right) \end{align}$ erhalten. Unterwegs habe ich dabei $\begin{align} 1 + \sinh^2 t = \cosh^2 t \, , \ \ \ \sinh t \cdot \cosh t = \frac{1}{2} \sinh(2t) \, , \ \ \ \sinh^2 (2t) = \frac{1}{2} \left( \cosh(4t) - 1 \right) \end{align}$ verwendet.
05.07.2015, 12:03	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Stammfunktion ist ja im Prinzip durch Vorgabe des Papula festgelegt. Warum sollte der FS davon abweichen?
08.07.2015, 18:04	Pfuscher	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, vielen Dank für die schnellen Antworten. Mit dem Vorschlag von Dopap ging es am einfachsten. Hätte man zwar auch selbst drauf kommen können, aber ab und an hat man wohl ein Brett vorm Kopf. Die 4 Ausklammern und dann als 2 vors Integral schreiben... that's it Danke und eine schöne Woche. LG

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