Adjungierte Abbildungen, endlich-dimensionaler K-Vektorraum |
05.07.2015, 13:41 | AmHa | Auf diesen Beitrag antworten » |
Adjungierte Abbildungen, endlich-dimensionaler K-Vektorraum Über K= oder K= sei V ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum mit positiv-definitem Skalarprodukt. Ferner sei Hom_K (V,V) und die Adjungierte zu . a) Zeigen Sie: Kern ( )= Kern ( ) b) Folgern Sie: r( )=r( )=r( ) c) Gilt auch Kern ( )= Kern ( )? (Begründung) Meine Ideen: Habe momentan leider keine Idee, wie ich anfangen soll Danke schonmal im Voraus! |
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06.07.2015, 10:48 | Ehos | Auf diesen Beitrag antworten » |
Du sollst zeigen, dass bei einer gegebenen mxn-Matrix A die Lösungsmenge des homogenen Gleichungssystem identisch zur Lösungsmenge des homogenen Gleichungssystems ist. (Dabei ist die transponierte Matrix, welche im Reellen der Adjungierten entspricht.) ------------------------------------------------ Beweisrichtung : Angenommen erfüllt das homogene Gleichungssystem . Wir wenden auf dieses Gleichungssystem die transponierte Matrix an und erhalten das homogene Gleichungssystem , womit auch dieses Gleichungssystem erfüllt, w.z.b.w. ----------------------------------------------- Beweisrichtung : (indirekter Beweis) Angenommen erfüllt das homogene Gleichungssystem , aber nicht das homogene Gleichungssystem . Dann existiert also ein Vektor . Wir bilden mit dem gegebenen Skalarprodukt das Betragsquadrat dieses Vektors und erhalten . Dies ist ein Widerspruch, denn es wurde vorausgesetzt . ------------------------------------------------ Im Komplexen funktioniert der Beweis völlig analog. Der Beweis in Aufgabe c) verläuft ähnlich wie in a). Mir ist aber nicht klar, was du in Aufgabe b) mit r(...) meinst. |
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06.07.2015, 11:51 | Luscinia | Auf diesen Beitrag antworten » |
Huhu man sollte hier vielleicht besser nicht mit der transponierten Matrix als adjungierter Abbildung arbeiten, weil es sich nicht zwingend um das Standardskalarprodukt handelt und dies dann a priori nicht richtig ist. Man verwendet stattdessen die Definition der adjungierten Abbildung. Für c) solltest du dir ein Gegenbeispiel überlegen, die Aussage ist falsch. Was du mit r meinst, weiß ich auch nicht. |
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