Eindeutigkeit der Transformationsmatrix ähnlicher Matrizen

05.07.2015, 14:45	throwaway456	Auf diesen Beitrag antworten »
Eindeutigkeit der Transformationsmatrix ähnlicher Matrizen Meine Frage: Zwei $\begin{eqnarray} n\times n \end{eqnarray}$ -Matrizen $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ heißen ähnlich zueinander, falls es eine reguläre $\begin{eqnarray} n\times n \end{eqnarray}$ -Matrix $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray} A=TBT^{-1} \end{eqnarray}$ gilt. Diese Transformationsmatrix $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ ist nicht eindeutig, denn mit $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ ist auch $\begin{eqnarray} cT \end{eqnarray}$ für jede komplexe Zahl $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ eine entsprechende Transformationsmatrix, da $\begin{eqnarray} (cT)B(cT)^{-1}=(cT)B(\tfrac1cT^{-1})=TBT^{-1}=A \end{eqnarray}$ . Wie kann man beweisen, dass $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ jedoch immerhin bisauf eine multiplikative Konstante bestimmt ist, d. h. dass $\begin{eqnarray} \{cT\ \|\ c\in\mathbb C\} \end{eqnarray}$ die Menge aller Transformationsmatrizen für die Ähnlichkeit von $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B \end{eqnarray}$ ist? Meine Ideen:
05.07.2015, 14:57	throwaway456	Auf diesen Beitrag antworten »
Edit EDIT: Hierbei muss jeweils $\begin{eqnarray} c\neq 0 \end{eqnarray}$ gelten.
05.07.2015, 17:56	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das kann man nicht beweisen, denn für $\begin{eqnarray} A=B=I \end{eqnarray}$ gilt für jede invertierbare Matrix $\begin{eqnarray} T \end{eqnarray}$ : $\begin{eqnarray} A=TBT^{-1} \end{eqnarray}$ .

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