Zeigen, dass homogene DGL vorliegt

05.07.2015, 15:55	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Zeigen, dass homogene DGL vorliegt Zeigen Sie durch Umformung, dass eine homogene Differentialgleichung voriegt und lösen Sie diese. $\begin{eqnarray} x^2y' = y \cdot (x - y) \end{eqnarray}$ Durch Umformung habe ich $\begin{eqnarray} y' = \frac{y}{x} - \left( \frac{y}{x} \right)^2 \end{eqnarray}$ erhalten. Leider weiß ich nicht wie man da jetzt separieren kann.. In der Musterlösung substituiert man $\begin{eqnarray} z = \frac{y}{x} \end{eqnarray}$ und somit $\begin{eqnarray} y = xz \end{eqnarray}$ Wie kommt man dann jetzt auf $\begin{eqnarray} y' = z + x \cdot z' \end{eqnarray}$
05.07.2015, 16:03	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen, dass homogene DGL vorliegt y= zx y'=z'x +z (Anwendung der Produktregel)
05.07.2015, 16:08	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Hmm, ich dachts mir schon, aber ich verstehs trotzdem nicht.. y' = u' * v + u * v' u = x u' = 0 v = z v' = z' Somit y' = 0 * u + x * z' --> y' = x * z'
05.07.2015, 16:15	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
u'=1 (x ist keine Konstante)
05.07.2015, 16:17	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Und warum ist dann v' = z' und nicht v' = 1
05.07.2015, 16:24	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
Weil $\begin{eqnarray} z=z(x) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y=y(x) \end{eqnarray}$ jeweils eine Funktion von x bezeichnet .
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05.07.2015, 16:26	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay Dann muss man nun $\begin{eqnarray} \int -\frac{1}{z^2}dz = \int \frac{1}{x}dx \end{eqnarray}$ lösen $\begin{eqnarray} \frac{1}{z} = ln\|x\| + c \end{eqnarray}$ In der Lösung steht $\begin{eqnarray} \frac{1}{z} = ln\|x\| + ln(c) \end{eqnarray}$ Warum denn ln(c) Wäre meins auch richtig?
05.07.2015, 16:37	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja Deins ist auch richtig. Ob c oder ln (c) ist völlig egal. Manche setzen, so wie ein ln auftaucht, sofort die Konstante mit ln an. Es ist Geschmacksache.
05.07.2015, 16:39	Rivago	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut, dann hab ich $\begin{eqnarray} y = \frac{x}{ln\|x\| + c} \end{eqnarray}$ In der Lösung steht $\begin{eqnarray} y = \frac{x}{ln(xc)} \end{eqnarray}$ Also sind beide Lösungen richtig?
05.07.2015, 16:45	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja Ein Log. Gesetz lautet: $\begin{eqnarray} ln(ab)= ln (a) +ln (b) \end{eqnarray*}$

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