Volumenberechnung Torus

05.07.2015, 15:07

Rooler

Volumenberechnung Torus

Hallo,

ein Torus wird ja bekanntlich durch folgende Funktion beschrieben:
$\begin{eqnarray*} pi * Integral * (f1(x))^2 dx - pi * Integral (f2(x))^2 dx \end{eqnarray*}$

Wenn ich f1(x) - f2(x) rechne, berechne ich ja den Flächeninhalt meines Kreises. Bekanntlich rotiert bei einem Torus diese Kreisfläche um die x-Achse. Aber warum kann ich mit der obigen Funktion jetzt das Volumen berechnen? Welcher Term der Integralfunktion gibt jetzt praktisch an, dass meine Kreisfläche rotiert?

dx müsste ja eigentlich für die (unendliche) Anzahl der Kreisflächen stehen. Aber was genau gibt das pi jetzt an? Normalerweise berechne ich ja mit $\begin{eqnarray*} pi * r^2 \end{eqnarray*}$ die Grundfläche, aber die berechne ich in diesem Fall ja durch den Term f1(x) - f2(x). Ich hoffe, ihr versteht, was ich meine verwirrt

05.07.2015, 16:13

Dopap

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RE: Volumenberechnung Torus

Zitat:

Original von Rooler
Hallo,

ein Torus wird ja bekanntlich durch folgende Funktion beschrieben:
$\begin{eqnarray*} \pi \int_a^b (f_1(x))^2 dx - \pi \int_a^b (f_2(x))^2 dx \end{eqnarray*}$

Wenn ich f1(x) - f2(x) rechne, berechne ich ja den Flächeninhalt meines Kreises.

mmh... um welchen Kreis geht es?

Zitat:

Bekanntlich rotiert bei einem Torus diese Kreisfläche um die x-Achse. Aber warum kann ich mit der obigen Funktion jetzt das Volumen berechnen? Welcher Term der Integralfunktion gibt jetzt praktisch an, dass meine Kreisfläche rotiert?

ein infinitesimales Volumenelement $\begin{eqnarray*} \dd V \end{eqnarray*}$ ist die rotierte Ordinaten (Kreisfläche) $\begin{eqnarray*} = \pi y^2 \end{eqnarray*}$ mal $\begin{eqnarray*} \dd x \end{eqnarray*}$ =Zylinderscheibchen.

05.07.2015, 16:24

Rooler

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Also rotiert bei einem Torus im Prinzip eine Kreisfläche umher, die gleichzeitig auch eine ganz dünne Zylinderscheibe ist verwirrt

05.07.2015, 16:44

Dopap

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Nein.
Ich habe mal nach geschaut w.g. Torus.

Das passt aber besser zur Rotation um die y-Achse.

wenn zum Beispiel der Halbkreis

$\begin{eqnarray*} f_1(x)= \leq \sqrt{4-(x-5)^2} \end{eqnarray*}$ um die y-Achse rotiert, dann entsteht ein Halbtorus.

Deine Formel passt aber nicht dazu.

05.07.2015, 16:55

Rooler

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$\begin{eqnarray*} f1(x)= R + Wurzel r^2 - x^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f2(x)=R - Wurzel r^2 - x^2 \end{eqnarray*}$

Wenn ich die Fläche unter f1(x) minus der Fläche unter f2(x) rechne, erhalte ich ja sozusagen den Flächeninhalt meines Kreises. Dieser Kreis rotiert dann um die x-Achse. Meine Frage war jetzt wie bei der Rotation einer Fläche nachher trotzdem ein Volumen entsteht? Wofür genau steht jetzt pi in der Integralfunktion?

06.07.2015, 13:11

Bürgi

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Guten Tag,

ich bitte um Entschuldigung, dass ich mich hier einmische.

Wahrscheinlich werden Deine Fragen hier:

https://de.wikipedia.org/wiki/Rotationstorus

vollständig beantwortet.

06.07.2015, 14:22

Rooler

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Noch nicht hundertprozentig. Mir ist nicht ganz klar, ob dx in meiner Integralfunktion jetzt für die (unendliche) Anzahl der Kreise steht, da dx ja eigentlich die Breite angibt oder nicht verwirrt

? Zudem berechne ich mit f1(x) - f2(x) ja schon den Flächeninhalt des Kreises. Warum muss ich diese Fläche jetzt noch einmal zum Quadrat nehmen und mit pi multiplizieren. Der Wikipedia Artikel erklärt mir das noch nicht (zumindest nicht so, als das ich es verstehen würde unglücklich

06.07.2015, 17:36

Bürgi

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Hallo,

ich will mal versuchen, in Einzelschritten zu erklären, was Deine Integrale bedeuten:

1. Du hast die Funktion $\begin{eqnarray*} f_1 \end{eqnarray*}$ . (Der Graph dieser Funktion ist blau gezeichnet). Die Funktionswerte bezeichnen den Abstand der Kurvenpunkte von der x-Achse.

2. Der Kurvenpunkt rotiert um die x-Achse und erzeugt dabei eine Kreisfläche:
$\begin{eqnarray*} A_{Kreis} = \pi \cdot (f_1(x))^2 \end{eqnarray*}$

[attach]38639[/attach]

3. Diese Kreisfläche ist die Grundfläche eines Zylinders, der die Höhe dx hat.

4. Alle Zylinder aufsummiert, ergeben einen Körper, der aussieht wie ein Rad (wahlweise Emmentaler Käse, ...)

$\begin{eqnarray*} V_{außen} = \int \limits_u^o(\pi \cdot (f_1(x))^2) dx \end{eqnarray*}$

u bedeutet untere Grenze, o bedeutet obere Grenze.

5. Dasselbe machst Du nun mit der Funktion $\begin{eqnarray*} f_2 \end{eqnarray*}$ , die bei mir grün gezeichnet ist. Das so berechnete Volumen gehört zu einer Art Seilscheibe.

6. Wenn Du nun beide Volumina abziehst, erhältst Du das Volumen des Torus, also praktisch die Bereifung auf der Seilscheibe.

07.07.2015, 20:46

Rooler

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Alles klar, hab es verstanden Freude

. Vielen Dank!

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