Zwischenwertsatz Anwendung

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ruezgamu Auf diesen Beitrag antworten »
Zwischenwertsatz Anwendung
Meine Frage:
Was der Zwischenwersatz ist weiß ich. Mein Problem ist ein bisschen in der Anwendung, daher wollt ich mal Fragen wie man die folgende Aufgaben mit dem Zwischenwerstaz lösen kann.

a)Zeige dass die Gleichung mindestens eine Lösung im Intervall [0,pi/2] esitzt
sin(x)=1/(x^2+1)
b)Zeige: Es gibt genau ein x>0 mit e^x+log(x)=3
c)Zeige, dass die Gleichung genau eine Lösung x ? ? besitzt.
e^(-5x)+sin(2x)?8x=42

Meine Ideen:
Meine Asätze
Zu a) Ich setze f(x)=sin(x) und g(x)=1/(x^2+1)
f(0)-g(0)<0
f(pi/4)-g(pi/4)>0
Jetzt mein Problem ist hier den Zwischenwersatz zu zitieren, und mit welcher Begründung kann ich sagen, dass die Funktion stetig ist?

Zu b)
Ich setze:
f(x)=e^x+log(x)?3
Jetzt nehm ich Intervall (0,unendlich)
f(1)<0
f(2)>0

Also ist x_0 element (0,unendlich) und f(x_0)=0
würde das so passen? und was kann ich zur stetigkeit von f(x) sagen.

Zu c fehlen mir die Ansätze
ruezgamu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zwischenwertsatz Anwendung
Edit: bei c heist die funtkion:
e^(-5x)+sin(2x)-8x=42
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zwischenwertsatz Anwendung
hallo,
zu a) du suchst ja praktisch die nullstellen von f(x)-g(x). Und das mit der stetigkeit
kann man damit begründen: wenn 2 funktionen stetig sind, ist auch die summe und die differenz der funktionen stetig.
bei b) hast du richtig argumentiert, es muss also eine lösung zwischen 1 und 2 geben,
und das es genau eine lösung gibt, liegt daran, dass die funktion streng monoton
steigend ist.
c) überlasse ich dir Augenzwinkern
gruss ollie3
ruezgamu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zwischenwertsatz Anwendung
Zu a)
kann ich also f(x) und g(x) einfach sagen das es stetig ist oder? muss ich das nicht noch beweisen?
Nun die Argumentation, muss es dann so heisen?
wegen zischenwertsatz existiert ein x element (0,pi/2) daraus folgt f(x)=0
passt das so?

zu b)
und wie kann ich noch zeigen, dass f(x)=e^x+log(x)-3 streng monoton wachsend ist?

zu c)
Naja dann versuzch ich das einfach wie bei b

kann ich sagen das es stetig ist, da exponentialfunktionen immer stetig sind oder?
f(x)=e^(-5x)+sin(2x)+8x-42
Intervall : (-unendlich, unendlich)

f(1)<0
f(-1)>0

somit folgt nach dem Zwischenwertsatz
es existierrt x_0 element (-unendlich, unendlich) f(x_0)=0
ruezgamu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zwischenwertsatz Anwendung
Kann da jemand eventuell weiter helfen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Geht es nun um oder ?

Letztere Gleichung hat jedenfalls nicht nur eine reelle Lösung. unglücklich

Und ist diese unleserliche Fragezeichen-Ansammlung

Zitat:
Original von ruezgamu
c)Zeige, dass die Gleichung genau eine Lösung x ? ? besitzt.

irgendeine Intervalleinschränkung, oder soll das schlicht heißen? (immer und immer wieder dieses schludrige Copy+Paste, es ist zum Kotzen )
 
 
ruezgamu Auf diesen Beitrag antworten »

Die leichung heisst

e^(-5x)+sin(2x)-8x=42
und x element RR
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zwischenwertsatz Anwendung
hallo,
bin wieder da Augenzwinkern
zu a) ja, das passt so, und man darf vorraussetzen, das die summe (und auch das
produkt) zweier stetiger funktion wieder stetig ist. Wenn man das noch vorher
beweisen müsste, würde die aufgabe ja ausufern.
zu b) hier gilt auch wieder, wenn man 2 monoton wachsende funktionen addiert,ist
das ergebnis auch wieder monton wachsend, und das -3 am schluss ändert das
verhalten nicht.
zu c) vorsicht, die sinus-funktion ist nicht monoton steigend, hier wird es schwieriger...
gruss ollie3
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Bei c) sollte man sich mal die Ableitung der Funktion anschauen: Für die kann man leicht für alle reellen nachweisen, damit ist streng monoton fallend.
ruezgamu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zwischenwertsatz Anwendung
Ja die sinus funktion ist nicht monoton steigend.
Und auch e^(-5x) ist nicht monoton steigend sondern monoton fallend.

Die Eindeutigkeit bei b) folgt ja, weil es monoton steigend ist.
Würde es auch bei monoton fallen folgen?
ruezgamu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zwischenwertsatz Anwendung
Alles klar, wenn die f^(x)<0 als beweis reicht für Monoton fallend.

Und woraus kann ich denn schliessen, dass es sich um eine stetige Funktion handelt?
ruezgamu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zwischenwertsatz Anwendung
dann kann ich theoretisch bei b ) auch due erste Ableitung von f(x) berechnen also f`(x) und sage das f`(x)>0 und somit monoton steigend ist.

aber muss ich dann nicht noch beweisen bei b) das f`(x)>0
und bei c) f`(x)<0

muss ich das dann nicht noch beweisen?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ruezgamu
dann kann ich theoretisch bei b ) auch due erste Ableitung von f(x) berechnen also f`(x) und sage das f`(x)>0 und somit monoton steigend ist.

Ja. Allerdings sollte es Grundwissen sein, dass sowohl als auch streng monoton wachsende Funktionen sind, und damit deren Summe auch, so dass das mit der Ableitung nicht nötig ist.
ruezgamu Auf diesen Beitrag antworten »

bei c)

f`(x)=-5e^(-5x)+2cos (2x)-8

aber wie soll ich jetzt nachweisen dass : -5e^(-5x)+2cos (2x)-8<0
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,
na das ist doch logisch:
-5e^(-5x) ist immmer kleiner als 0 (das liegt an dem vorfaktor -5), der cosinus pendelt
immer zwischen 1 und -1 hin und her, 2cos (2x) kann höchstens den wert 2
annehmen, und wenn man dann noch 8 subtrahiert, kann f' also nicht grösser als -6
werden. Das ist schon allles. Augenzwinkern
gruss ollie3
ruezgamu Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar , vielen vielen dank.

Eine kleine Frage habe ich noch:

Was heisst denn: "f stetig als komposition stetiger Funktion"

meint mann damit genau das gleiche wie in a) ?
also meint mann mit der komposition addition oder subtrahieren von 2 stetige funktionen
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