Erwartungswert und Varianz

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sensin Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert und Varianz
Meine Frage:
Die Anzahl der Leukozyten pro Mikroliter Blut in der Population der Erwachsenen
(über 21 Jahren) weist eine stabile Häufigkeitsverteilung auf,
die annähernd normalverteilt ist. Nehmen wir an, dass sich das 95% zentrale
Schwankungsintervall der Leukozyten in einer Population zwischen
3000 und 11000 Leukozyten/µl streckt.
a) Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz der Leukozyten/µl
im Blutbild dieser Population.
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei einer gesunden Person eine
Konzentration von weniger als 4000 Leukozyten/µl zu beobachten?
c) Wie groß ist der Anteil der gesunden Personen in dieser Population,
die in ihrem Blutbild eine Konzentration von mehr als 12000 Leukozyten/µl
aufweisen?
d) Bestimmen Sie die obere Grenze der Leukozytenz

Meine Ideen:
Ich hab leider gar keine Idee dazu.
Könntet ihr mir helfen???

Grüße
sensin
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

die Mitte des Intervalles ist der Erwartungswert.

die Breite des Intervalles ist 2*1.96 *Standardabweichung.

Damit lässt sich der Rest lösen.
 
 
sensin Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo Dopap,

vielen Dank für deine Antwort.

Ist die Varianz=die Breite ??

Was ist hier den die Standartabweichung?

Ist der Erwartungswert bei einer Normalverteilung nicht
mü= 0
Streuung von
Sigma= 1

Was kann ich mit der z-Transformations -Formel anfangen?

Grüße
Sensin
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Ich helf mal kurz aus.

Zitat:
Original von sensin
Ist die Varianz=die Breite ?


Nein, die Varianz ist das Quadrat der Standardabweichung.

Zitat:
Original von sensin
Was ist hier den die Standartabweichung?


Das musst Du ja herausfinden. Dabei hilft Dir diese Tabelle. Wenn's hier Schwierigkeiten gibt, sag, was unklar ist.

Zitat:
Original von sensin
Ist der Erwartungswert bei einer Normalverteilung nicht
mü= 0
Streuung von
Sigma= 1


Das ist die Standardnormalverteilung, die eben in dieser Tabelle beschrieben ist.

Zitat:
Original von sensin
Was kann ich mit der z-Transformations -Formel anfangen?


Damit kannst Du jede beliebige Normalverteilung mit irgendeinem Mittelwert und irgendeiner Standardabweichung in die Standardnormalverteilung transformieren, um dann mit der Tabelle weiterrechnen zu können.

Viele Grüße
Steffen
sensin Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank smile smile aber wie kann ich nun die Tabelle auslesen?

Nach welchem wert muss ich suchen ? :-)


Grüße
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sensin
wie kann ich nun die Tabelle auslesen?

Nach welchem wert muss ich suchen ?


Die Tabelle zeigt, wieviel Fläche unter der Normalverteilung liegt. Insgesamt ist das Eins.

Nun brauchst Du eine Fläche, die nicht Eins, sondern 0,95 beträgt. Schau nach, zwischen welchen beiden z-Werten die liegt.
sensin Auf diesen Beitrag antworten »

Wäre dann meine Standartabweichung 1.64 ???
sensin Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Dopap
die Mitte des Intervalles ist der Erwartungswert.

die Breite des Intervalles ist 2*1.96 *Standardabweichung.

Damit lässt sich der Rest lösen.




Woher hast du den wert 1,96? Was ist das?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sensin
Wäre dann meine Standartabweichung 1.64 ?


Das wäre eine mögliche Lösung, richtig. In diesem Fall wäre die linke Grenze der 95-Prozent-Fläche, die wir ja brauchen, der Wert minus Unendlich, und die rechte Grenze wäre der von Dir gefundene Wert 1,64.

Nun ist das aber leider nicht die Fläche, die wir brauchen. Es geht nämlich um das "zentrale Schwankungsintervall". Und das ist, wie der Name sagt, zentral, also symmetrisch um Null.

Das heißt, wir müssen die 95 Prozent in eine linke und eine rechte Fläche aufteilen, die genauso groß sind. Also links 47,5 Prozent und rechts auch.

Die Tabelle beginnt ja bei z=0 mit der Fläche 0,5. Nun such das z, wo die Fläche 47,5 Prozent mehr hat.
sensin Auf diesen Beitrag antworten »

Die 0,475 ist aber nicht Inder der Tabelle enthalten??
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, deswegen schrieb ich ja auch 0,475 mehr als 0,5. Dann ist die Fläche zwischen z=0 und dem gesuchten z eben 0,475. Denn bei z=0 ist sie ja schon 0,5.

Dann klappst Du diese Fläche nochmal nach links und hast eine schöne Fläche von 0,95, symmetrisch zum Erwartungswert.
sensin Auf diesen Beitrag antworten »

Wie würdest du das nun aufs Blatt bringen
Die Lösung a.)

Freude
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Dopap schrieb doch schon über das Intervall 3000...11000:

Zitat:
die Mitte des Intervalles ist der Erwartungswert.
die Breite des Intervalles ist 2*1.96 *Standardabweichung.



Drück das mal mathematisch aus.
sensin Auf diesen Beitrag antworten »

E(X)= 7000

Varianz= (1,64) hoch 2

Standartabweichung: 1,64

Woher kommt denn die 1.96

Was ist 2*1,96* 1,64
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Der Erwartungswert ist richtig, prima.

Aber die Standardabweichung ist eben nicht 1,64, wie ich ja schon in epischer Breite erklärt habe. Denn die Verteilung muss symmetrisch um den Erwartungswert sein, das ist sie hier nicht.

Deswegen suchen wir ja doch ein positives z, bei dem die Fläche 0,5+0,475 beträgt. Zwischen diesem z und seinem negativen Partner -z liegt dann eine Fläche von 0,95.

Also: wie groß ist dieses z?
sensin Auf diesen Beitrag antworten »

1,96 Big Laugh
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Eben. Und jetzt kannst Du daraus mit Dopaps Hinweis die Standardabweichung berechnen.
sensin Auf diesen Beitrag antworten »

2*1.96 *Standardabweichung.

2*1.96*1,96= 7,6832

oder meinst du es so

2*1,96=3,92 =Standartabweichung??
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Die Standardabweichung ist auch nicht 1,96. Das ist nur der z-Wert, den Du abgelesen hast. Die Fläche unter der Standardnormalverteilung von z=-1,96 bis z=1,96 ist nämlich 0,95.

Vielleicht hast Du's ja nicht gelesen, was Dopap geschrieben hat. Ich zitiere ihn daher ein zweites Mal:
Zitat:

die Breite des Intervalles ist 2*1.96 *Standardabweichung.
.

Wie groß ist die Breite des Intervalles? Wie groß ist also die Standardabweichung?
sensin Auf diesen Beitrag antworten »

2*1.96 *0,95 = 3,724
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Wie groß ist die Breite des Intervalles?
sensin Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von sensin
2*1.96 *0,95 = 3,724


Ist das die Standartabweichung?
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Nein.

Wie groß ist die Breite des Intervalles?
sensin Auf diesen Beitrag antworten »

Die Breite weiß ich leider net unglücklich unglücklich
sensin Auf diesen Beitrag antworten »

Standartabweichung auch net unglücklich unglücklich
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Du meinst, Du kennst die Breite eines Intervalls von 3000 bis 11000 nicht?
sensin Auf diesen Beitrag antworten »

sorry unglücklich unglücklich
sensin Auf diesen Beitrag antworten »

Und nun? Ich raff das net
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Keine Panik. Gehn wir mal anders dran.

[attach]38638[/attach]

Ich hab Dir hier die Verteilung skizziert. In der Mitte liegen die 7000 Leukozyten, und die rote Fläche (eben die 95 Prozent) geht von 3000 bis 11000 Leukozyten. Das heißt ja, dass in 95 Prozent der Fälle der Leuko-Wert in diesem Intervall liegt.

Und nun siehst Du, dass ich die beiden Intervallgrenzen mit µ-1,96s und µ+1,96s beschriftet habe. Das s steht für die gesuchte Standardabweichung dieser Verteilung.

Kommst Du damit weiter?
sensin Auf diesen Beitrag antworten »

Also erstmals vielen lieben Dank dafür!

Ja es hilft.

S haben wir ja ausgerechnet S=0.95?

Nun meine frage: Was ist das Ergebnis von

2*1.96 *Standardabweichung. ??? Was sagt mir die Rechnung??
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, die 0,95 ist nur die Wahrscheinlichkeit, dass die Leukozyten zwischen 3000 und 11000 betragen. Die Standardabweichung suchen wir nach wie vor.

Nun ist das z bei der Tabelle nichts anderes als ein Faktor. Ein z von 1,96 heißt also einfach 1,96 Standardabweichungen.

Das heißt, dass bei jeder Normalverteilung im Intervall "Mittelwert plus/minus 1,96 Standardabweichungen" 95 Prozent der Werte liegen!

Nun haben wir eine Normalverteilung mit Mittelwert 7000. Die Standardabweichung kennen wir noch nicht. Aber wir wissen: wenn man 1,96 Standardabweichungen vom Mittelwert nach rechts geht, landet man bei 11000. Und 1,96 Standardabweichungen nach links sind wir bei 3000.

Nun nimm eine dieser beiden Gleichungen und rechne die Standardabweichung aus.
sensin Auf diesen Beitrag antworten »

S= 11000/U+1,96

Was ist mü für ein Wert??
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Steht in der Mitte: µ ist der Mittelwert 7000.

PS: Aber so kommst Du nicht auf s. Forme

7000+1,96s=11000

mal richtig um.
sensin Auf diesen Beitrag antworten »

S=11000/7000+1,96
sensin Auf diesen Beitrag antworten »

S=11000-7000/1,96
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn Du bei Deinem letzten Beitrag noch korrekte Klammern setzt, bin ich einverstanden.
sensin Auf diesen Beitrag antworten »

Erwartungswert= E(x)=7000

mü=u=7000

Standartabweichung: S=(1100-7000)/1,96

Varianz= S in Quadrat

Ich hoffe das passt soweit geschockt smile smile
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

J,a alles in Ordnung.

Teil b ist jetzt vielleicht nicht mehr so schwer. Wir brauchen die Fläche von "ganz links" bis 4000. Dazu müssen wir jetzt umgekehrt rechnen: Welcher z-Wert entspricht der Zahl 4000. Oder, anders ausgedrückt: wieviel Standardabweichungen ist 4000 von 7000 entfernt?
sensin Auf diesen Beitrag antworten »

????? 3000
Steffen Bühler Auf diesen Beitrag antworten »

Und wieviel Standardabweichungen passen in die Zahl 3000?
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