Kritische Stellen, Problem beim LGS

06.07.2015, 17:02

Nadia.She

Kritische Stellen, Problem beim LGS

Meine Frage:
Hallo smile

also ich soll von folgender Funktion die kritischen Stellen und deren Typ bestimmen:

$\begin{eqnarray*} f(x,y)=x^{4}+y^4-2x^2-2y^2+4xy \end{eqnarray*}$

Den Grad von f habe ich auch schon, jedoch komme ich beim LGS nicht auf y und x.

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} Grad f=\begin{pmatrix} 4x^3-4x+4y \\ 4y^3-4y+4x\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Für die kritischen Stellen setze ich beide Gleichungen gleich 0 und bekomme so
$\begin{eqnarray*} x^3-x+y=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y^3-y+x=0 \end{eqnarray*}$

also ist $\begin{eqnarray*} y=x-x^3 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x=y-y^3 \end{eqnarray*}$ Wie bekomme ich die Stellen raus? Bin dankbar für jede Hilfe! smile

06.07.2015, 17:26

klauss

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RE: Kritische Stellen, Problem beim LGS
Eine kritische Stelle ist ja mit bloßem Auge schon sichtbar.

Für die anderen benutze mal die umgeschriebenen Gleichungen
$\begin{eqnarray*} x^3-(x-y)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y^3+(x-y)=0 \end{eqnarray*}$

Nun kannst Du $\begin{eqnarray*} x^3 \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} (x-y) \end{eqnarray*}$ ausdrücken und in die andere Gleichung einsetzen.

06.07.2015, 18:40

Nadia.She

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RE: Kritische Stellen, Problem beim LGS
Dann habe ich doch $\begin{eqnarray*} x^3=x-y \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} y^3+x^3=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=-x \end{eqnarray*}$ richtig?
Das eingesetzt in die erste Gleichung ergibt $\begin{eqnarray*} x^3-2x=0 \end{eqnarray*}$
Also $\begin{eqnarray*} x(x^2-2)=0 \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} x1=0 \end{eqnarray*}$
Für $\begin{eqnarray*} x^2-2=0 \end{eqnarray*}$ bekomme ich $\begin{eqnarray*} x2=\sqrt{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x3=-\sqrt{2} \end{eqnarray*}$

Stimmt das?

06.07.2015, 18:57

klauss

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RE: Kritische Stellen, Problem beim LGS
Stimmt. Und die dazugehörigen y ergeben sich aus der 1. Zeile.

06.07.2015, 19:25

Nadia.She

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RE: Kritische Stellen, Problem beim LGS
Vielen Dank! smile

06.07.2015, 19:31

Nadia.She

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RE: Kritische Stellen, Problem beim LGS
Noch eine winzige Frage:

Wenn ich den Typ der Stelle bestimmen will, bei (0,0), dann bekomme ich bei der Determinante der Hesseform 0 raus. Was ist das dann? Es ist ja kein Min, max oder Sattelpunkt.

06.07.2015, 20:13

HAL 9000

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Zitat:

Original von Nadia.She
Es ist ja kein Min, max oder Sattelpunkt.

Das kannst du so nicht folgern. unglücklich

Es ist nur so, dass das dir bekannte hinreichende Kriterium für min/max/Sattelpunkt nicht greift - trotzdem kann (und muss!) es mindestens eins der drei ja sein. Augenzwinkern

Da musst du etwas erfindungsreicher vorgehen: Im vorliegende Fall etwa findest du in jeder Umgebung von $\begin{align*} (0,0) \end{align*}$ Punkte mit $\begin{align*} f(x,y)>0 \end{align*}$ und auch Punkte mit $\begin{align*} f(x,y)<0 \end{align*}$ , d.h.: Sattelpunkt. Gib einfach solche Punkte an!

06.07.2015, 20:48

Nadia.She

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Ja stimmt, das macht Sinn. Dankeschön Big Laugh

06.07.2015, 22:07

Nadia.She

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Hier habe ich noch eine Aufgabe mit dem selben Problem
$\begin{eqnarray*} f(x,y)=e^{3y}-3xe^y+x^3 \end{eqnarray*}$
Der Grad von f nullgesetzt $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -3e^y+3x^2=0 \\ 3e^{3y} -3xe^y =0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Durch die erste Gleichung habe ich $\begin{eqnarray*} e^y=x^2 \end{eqnarray*}$ Durch die zweite $\begin{eqnarray*} e^{3y}=xe^y \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} x=e^{2y} \end{eqnarray*}$
x eingesetzt in die erste Gleichung ergibt $\begin{eqnarray*} e^y=e^{4y} \end{eqnarray*}$ also ist y=0
y in x eingesetzt ergibt $\begin{eqnarray*} x=e^{20}=1 \end{eqnarray*}$

Wenn ich die erste Gleichung nach x auflöse erhalte ich doch $\begin{eqnarray*} \sqrt{e^y}=x1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -\sqrt{e^y}=x2 \end{eqnarray*}$ Bei der zweiten Gleichung bekomme ich für y=0.

Also habe ich zwei kritische Stellen (1,0) und (-1,0)

Kann das richtig sein? verwirrt

08.07.2015, 12:08

klauss

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Die Gegenprobe ergibt, dass die 2. Gleichung für (-1,0) nicht erfüllt ist.

Versuch den alternativen Weg, indem aus $\begin{eqnarray*} e^y=x^2 \end{eqnarray*}$ folgt: $\begin{eqnarray*} y=ln(x^2) \end{eqnarray*}$ . Setze dies in die 2. Gleichung ein.

Dass der Gradient für x=0 nicht 0 wird, ist ohnehin offensichtlich.

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