Rekursionsformel, Integral, Wurzel, Potenzen

07.07.2015, 11:46

StrunzMagi

Rekursionsformel, Integral, Wurzel, Potenzen

Man bestimme eine Rekursionsformel für $\begin{eqnarray*} I_m= \int \frac{dx}{\sqrt{1+x^2}^m} ,m \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$

Erstmals ist:
$\begin{eqnarray*} I_1= Arsinh(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} I_2= arctan(x) \end{eqnarray*}$

Versuch 1:
$\begin{eqnarray*} I_m = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}^m} + \frac{m}{2} \int \frac{2x^2}{(1+x^2)^{\frac{m+2}{2}}} dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{x^2}{(1+x^2)^{\frac{m+2}{2}}}= \frac{x^2+1-1}{(1+x^2)^{\frac{m+2}{2}}}=\frac{1}{(1+x^2)^{\frac{m}{2}}}- \frac{1}{(1+x^2)^{\frac{m+2}{2}}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow I_m = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}^m} + m I_m - m I_{m+2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \iff m I_{m+2}= \frac{x}{\sqrt{1+x^2}^m} + (m-1) I_m \end{eqnarray*}$

Nun brauche ich aber auch noch eine Rekursionsformel für ungerade Faktoren?

Versuch 2:
Sei $\begin{eqnarray*} n:= \frac{m+2}{2} \end{eqnarray*}$ so ist $\begin{eqnarray*} \int \frac{x}{(x^2+1)^n}= \frac{1}{2} \int \frac{2x}{(x^2+1)^n} \end{eqnarray*}$
Sei $\begin{eqnarray*} f(x) = \frac{1}{(x+1)^n}, \phi(x)=x^2, \phi'(x)=2x \end{eqnarray*}$ so haben wir:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \int \frac{2x}{(x^2+1)^n}=\frac{1}{2} \int f(\phi(x)) \phi'(x) = \frac{1}{2} \int f(x)= \frac{1}{2} \int (x+1)^{-n} \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \frac{(x+1)^{1-n}}{1-n}= \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \frac{(x^2+1)^{1-n}}{1-n} \end{eqnarray*}$
D.h. $\begin{eqnarray*} \int \frac{x^2}{(1+x^2)^{\frac{m+2}{2}}} dx = \frac{1}{2} \frac{(x^2+1)^{-\frac{m}{2}}}{-\frac{m}{2}} * x - \int \frac{1}{2} \frac{(x^2+1)^{-\frac{m}{2}}}{-\frac{m}{2}}dx =- \frac{1}{m(x^2+1)^{\frac{m}{2}}} + \frac{1}{m} I_m \end{eqnarray*}$

Insgesamt erhalte ich:
$\begin{eqnarray*} I_m = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}^m} + m \int \frac{x^2}{(1+x^2)^{\frac{m+2}{2}}} dx= \frac{x}{\sqrt{1+x^2}^m} +m*[ -\frac{1}{m(x^2+1)^{\frac{m}{2}}} + \frac{1}{m} I_m]=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}^m} - \frac{1}{(x^2+1)^{\frac{m}{2}}} + I_m \end{eqnarray*}$
Das kürz sich aber weg??

Über Hilfe würde ich mich sehr freuen!
LG

08.07.2015, 04:03

outSchool

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RE: Rekursionsformel, Integral, Wurzel, Potenzen

Zitat:

Original von StrunzMagi
Man bestimme eine Rekursionsformel für $\begin{align*} I_m= \int \frac{dx}{\sqrt{1+x^2}^m} ,m \in \mathbb{N} \end{align*}$

Erstmals ist:
$\begin{align*} I_1= Arcsinh(x) \end{align*}$
$\begin{align*} I_2= arctan(x) \end{align*}$

und dann nehmen wir noch

$\begin{align*} I_3 = \frac{x}{\sqrt{x^2+1} } \end{align*}$

Sei $\begin{align*} n \in \mathbb N \end{align*}$ und $\begin{align*} m = 2n + 2 \end{align*}$ dann kann man auch schreiben:

$\begin{align*} I_n = \int \! \frac{1}{(x^2 + 1)^n} \, dx = \int \! \frac{1}{(x^2 + 1)^{n-1}} \, dx - \int \! \frac{x^2}{(x^2 + 1)^n} \, dx = I_{n-1} - \int \! \frac{x^2}{(x^2 + 1)^n} \, dx \end{align*}$

Das Integral $\begin{align*} \int \! \frac{x^2}{(x^2 + 1)^n} \, dx \end{align*}$ kann man mit partieller Integration auswerten und erhält dann

$\begin{align*} I_n = \frac{2n-3}{2n-2}\cdot I_{n-1} + \frac{x}{(2n-2)(x^2+1)^{n-1}} \end{align*}$

Sei $\begin{align*} n \in \mathbb N \end{align*}$ und $\begin{align*} m = 2n + 3 \end{align*}$ , dann gilt

$\begin{align*} I_m= \int \frac{dx}{\sqrt{1+x^2}^m} = \int \frac{dx}{\sqrt{1+x^2}^{m-2}} - \int \frac{x^2 dx}{\sqrt{1+x^2}^m} = \frac{m-3}{m-2}\cdot I_{m-2} + \frac{x}{(m-2) \sqrt{x^2 +1}^{m-2} } \end{align*}$

Die Herleitung geschieht wie oben mit partieller Integration.

08.07.2015, 09:41

StrunzMagi

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Danke für deine Antwort!
Mein Versuch 2 in Post 1 war vollkommener Blödsinn weil ja $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ liegen muss.

Frage 1)
Ich verstehe deinen Weg nicht ganz. Warum schaust du am anfang $\begin{eqnarray*} I_n \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} I_m \end{eqnarray*}$ an? Mir ist also der Aufbau deiner Rechnung nicht klar.
Ist nicht hilfreicher so zu starten : für $\begin{eqnarray*} m=2n+2, n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} I_m = \int \frac{1}{(x^2+1)^{n+1}} dx =..=\frac{1-2n}{0-2n} I_{n} - \frac{x}{(0-2n)(x^2+1)^{n}} \end{eqnarray*}$
Die erste Gleichheit da: $\begin{eqnarray*} \sqrt{1+x^2}^{2n+2}= (1+x^2)^{n+1} \end{eqnarray*}$

2)

Zitat:

Original von outSchool

Das Integral $\begin{align*} \int \! \frac{x^2}{(x^2 + 1)^n} \, dx \end{align*}$ kann man mit partieller Integration auswerten

Ich erhalte wenn ich von meinen ersten Post verwende $\begin{eqnarray*} \int \frac{x}{(x^2+1)^n}=\frac{1}{2} \frac{(x^2+1)^{1-n}}{1-n} \end{eqnarray*}$ mittels partieller Integration:
$\begin{eqnarray*} \int \frac{x^2}{(x^2+1)^n}= \frac{x}{(2-2n)(x^2+1)^{n-1}} - \frac{1}{2-2n} \int \frac{1}{(x^2+1)^{n-1}} \end{eqnarray*}$
Daraus erhalte ich: $\begin{eqnarray*} I_n = I_{n-1} - \frac{x}{(2-2n)(x^2+1)^{n-1}} +\frac{1}{2-2n} I_{n-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} I_n = \frac{3-2n}{2-2n} I_{n-1} - \frac{x}{(2-2n)(x^2+1)^{n-1}} \end{eqnarray*}$
Kann es sein, dass ein VZ. bei dir nicht korrekt ist oder ist das mein Verschulden?

3)

Zitat:

Original von outSchool
Sei $\begin{align*} n \in \mathbb N \end{align*}$ und $\begin{align*} m = 2n + 3 \end{align*}$ , dann gilt

$\begin{align*} I_m= \int \frac{dx}{\sqrt{1+x^2}^m} = \int \frac{dx}{\sqrt{1+x^2}^{m-2}} - \int \frac{x^2 dx}{\sqrt{1+x^2}^m} = \frac{m-3}{m-2}\cdot I_{m-2} + \frac{x}{(m-2) \sqrt{x^2 +1}^{m-2} } \end{align*}$

Die Herleitung geschieht wie oben mit partieller Integration.

$\begin{eqnarray*} \int \frac{x^2 dx}{\sqrt{1+x^2}^m} = \int \frac{x^2 dx}{\sqrt{1+x^2}^{2n+3}} = \int \frac{x^2 dx}{(1+x^2)^{n+1} \sqrt{1+x^2}} \end{eqnarray*}$
Wie machst du hier die partielle Integration? Hab da einiges probiert aber bin auf keinen grünen Zweig gekommen.

Liebe Grüße

08.07.2015, 10:46

outSchool

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Hallo!

Zu 1): Es werden gerade m betrachtet, die Wurzel im Nenner kürzt sich somit weg.

Zu2): $\begin{align*} I_n = \frac{3-2n}{2-2n} I_{n-1} - \frac{x}{(2-2n)(x^2+1)^{n-1}} = \frac{3-2n}{2-2n} I_{n-1} + \frac{x}{(2n-2)(x^2+1)^{n-1}} \end{align*}$ . Es ist $\begin{align*} -(2-2n) = (2n-2) \end{align*}$

Zu 3):

$\begin{align*} \int \frac{x^2 dx}{\sqrt{1+x^2}^m} = \int x \cdot \frac{x dx}{\sqrt{1+x^2}^m} \end{align*}$ und $\begin{align*} \int \frac{x dx}{\sqrt{1+x^2}^m} = \frac{1}{(2-m)\sqrt{x^2+1}^{m-2} } \end{align*}$

08.07.2015, 11:01

HAL 9000

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@StrunzMagi

Hmm ja, es mag ein wenig verwirrend sein, dass outSchool sich bei

Zitat:

Original von outSchool
$\begin{align*} I_n = \int \! \frac{1}{(x^2 + 1)^n} \, dx \end{align*}$

nicht an deine Defintion von $\begin{align*} I_m \end{align*}$ hält - tatsächlich hätte er da $\begin{align*} I_{2n} = \int \! \frac{1}{(x^2 + 1)^n} \, dx \end{align*}$ schreiben müssen.

@outSchool

Entschuldige, dass meine Anrede "über deinen Kopf hinweg" an Strunzmagi geschah, aber ich habe jetzt erst kurz vorm Abschicken gemerkt, dass du eine Antwort gegeben hast.

09.07.2015, 10:25

StrunzMagi

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Danke 2,3 sind für mich klar.
Aber du schreibst ja: $\begin{eqnarray*} m=2n+2, n \in \mathbb{N} \end{eqnarray*}$ so ist aber $\begin{eqnarray*} I_m = \int \frac{1}{(x^2+1)^{n+1}} dx \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{(x^2+1)^{n}} dx \end{eqnarray*}$ .
Man kann doch genauso $\begin{eqnarray*} m=2n, m=2n+1 \end{eqnarray*}$ betrachten wobei $\begin{eqnarray*} n \in \mathbb{N}_{> 1 } \end{eqnarray*}$ ist oder? Denn so stimmts dann nämlich.

Liebe Grüße

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