Komplexe Zahlen und Kosinus

07.07.2015, 16:25

Gani

Komplexe Zahlen und Kosinus

Meine Frage:
Stelle $\begin{eqnarray*} \cos(5\phi) \end{eqnarray*}$ als Polynom in $\begin{eqnarray*} \cos(\phi) \end{eqnarray*}$ dar.
Ich habe die Aufgabe schon mithilfe von der Additionstheoreme von Kosinus gelöst, wundere mich aber, ob es einen anderen Weg gibt, insbesondere ob man irgendwie Komplexe Zahlen benutzen kann. (Das Thema des Kapitels ist Komplexe Zahlen)

Meine Ideen:
Die Antwort ist
$\begin{eqnarray*} 16*\cos(\phi)^{5} - 20*cos(\phi)^{3} + 5cos(\phi) \end{eqnarray*}$

07.07.2015, 16:28

HAL 9000

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Zitat:

Original von Gani
Ich habe die Aufgabe schon mithilfe von der Additionstheoreme von Kosinus gelöst, wundere mich aber, ob es einen anderen Weg gibt

Nicht wirklich anders, aber mit etwas Systematik betrieben:

https://de.wikipedia.org/wiki/Tschebyschow-Polynom

07.07.2015, 16:40

Gani

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Zitat:

Original von HAL 9000
Nicht wirklich anders, aber mit etwas Systematik betrieben:

https://de.wikipedia.org/wiki/Tschebyschow-Polynom

wow, danke für das Link! Es sieht kompliziert aus, die Anwendung ist aber überraschend einfach.

07.07.2015, 23:09

mYthos

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Die Rechnung mit den Additionstheoremen ist relativ mühsam.
Ein eleganter Weg ist der Einsatz der Formel von Moivre:

$\begin{eqnarray*} (\cos x + i \sin x)^5 = \cos 5x + i \sin 5x \end{eqnarray*}$

--> binomisch --> Koeffizientenvergleich der Realteile (nur reelle Summanden)

$\begin{eqnarray*} \cos 5x = \cos^5 x - 10 \cos^3 x (1 - \cos^2 x) + 5 \cos x (1 - \cos^2 x)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \cos 5x = 16 \cos^5 x - 20 \cos^3 x + 5 \cos x \end{eqnarray*}$

mY+

09.07.2015, 06:35

Gani

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Danke für den Moivreschen Satz, es ist genau das, wonach ich gesucht habe smile

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