Erste Fundamentalform - Anwendung

07.07.2015, 18:07	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Erste Fundamentalform - Anwendung Meine Frage: Hallo Leute, ich beschäftige mich gerade mit der ersten Fundamentalform und habe ein paar Fragen. Zunächst was ich weiß. Also man möchte auf regulären Flächen $\begin{eqnarray} S \subset \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ Geometrie betreiben. Dafür braucht man Ein Skalarprodukt, Metrik, Norm. So wie ich es verstanden habe, liefert mir die erste Fundamentalform eben gerade dies. Mit Hilfe dieser kann ich dann Beispielsweise die Länge einer Kurve bestimmen, die auf einer regulären Fläche verläuft. Hierfür gibt es dann Formeln, in welchen die erste Fundamentalform drin steht. Wie z.B. hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Erste_Fundamentalform zu sehen ist. Ich weiß auch, dass die erste Fundamentalform nicht immer konstant ist. Also vom betrachteten Punkt und von der Parametrisierung abhängt. Der Tangentialraum $\begin{eqnarray} T_pS \end{eqnarray}$ bildet einen 2dim Unterraum des $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ . Nun kann ich das Skalarprodukt des $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ einschränken auf meinen Tangentialraum. Nun mache ich folgendes. Ich ordne jedem Punkt $\begin{eqnarray} p \in S \end{eqnarray}$ gerade diese Einschränkung zu. Also habe ich eine Abbildung: $\begin{eqnarray} \phi: S \to X \end{eqnarray}$ Nun ist $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ ein Raum, in welchen gewissen Abbildungen sind, unteranderem eben meine Einschränkung des Skalarproduktes. Was ist das für ein Raum??? (Frage1) Für mein Punkt $\begin{eqnarray} p \in S \end{eqnarray}$ gilt dann: $\begin{eqnarray} p \mapsto g_p \end{eqnarray}$ hierbei gilt: $\begin{eqnarray} g_p = \langle . , . \rangle_{\|T_pS \times T_pS} \end{eqnarray}$ Okay, nun habe ich also jedem Punkt so eine Abbildung (Eingeschränkes Skalarprodukt) zugeordnet. Aber: Was mache ich jetzt damit? Ich habe gesehen, auch in Beispielen selbst gerechnet, dass es eine Matrixdarstellung gibt von $\begin{eqnarray} g_p \end{eqnarray}$ Auf welche Vektoren wende ich denn jetzt diese Matrix an? Das können laut Definition ja nur die Tangentialvektoren sein. Aber in die Abbildung muss ich ja zwei Vektoren reinstecken, wie mache ich das mit der Matrix dann? Ich nehme mal an, das geht dann so: $\begin{eqnarray} g_p(x,y) = x^T A y \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ eben diese Matrix der ersten Fundamentalform ist. Aber was rechne ich da aus? Wenn das der Winkel zwischen den beiden Vektoren ist, dann hätte ich ja auch gleich das Skalarprodukt auf ganz $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ nehmen können. Also konkret: Warum ist diese Einschränkung des Skalarproduktes überhaupt nötig??? Meine Ideen: Also ihr seht, ich habe das Konzept der ersten Fundamentalform noch nicht so richtig verstanden. Ich möchte mich jetzt auch ungern damit zufrieden geben, dass ich da irgendwelche Matrizen ausrechne und nicht weiß, was ich mit denen Anfangen kann. (Ausser der Längenberechnung, wo ich mal blind die Formel von Wiki anwenden könnte..) Ich hoffe jemand hat Lust und Zeit da etwas Klarheit zu schaffen Vielen Dank Stevie
09.07.2015, 09:56	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich schreibe dir mal auf, wie man die Erste Fundamentalform anschaulich motiviert: -------------------------------------------------------------------------------------------------------- Auf dem Ozean fäht ein Schiff entlang der Kurve $\begin{eqnarray} (\phi,\theta)=[\phi(t), \theta(t)] \end{eqnarray}$ , wobei die 2 Flächenparameter $\begin{eqnarray} \phi,\theta \end{eqnarray}$ den Längen- und Breitengrad angeben und der Kurvenparameter t die Zeit ist. Im 3-dimensionalen Einbettungsraum hat der Weg des Schiffes folgende Parameterdarstellung (=Kugelkoordinaten) $\begin{eqnarray} \vec x[\phi (t),\theta(t)]=\begin{pmatrix} r \cdot \cos[\phi(t)]\cdot \sin[\theta(t)] \\ r \cdot \sin[\phi(t)]\cdot \sin[\theta(t)] \\ r\cdot \cos[\theta(t)] \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Zu den zwei dicht bebachbarten Zeitpunkten $\begin{eqnarray} t \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} t+\Delta t \end{eqnarray}$ hat das Schiff im 3-dimensionalen Einbettungsraum folgende Positionen $\begin{eqnarray} \vec x[\phi (t),\theta(t)] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \vec x[\phi (t+\Delta t),\theta(t+\Delta t)]\approx \underbrace{\vec x[\phi (t),\theta(t)]+\tfrac{\partial \vec x}{\partial \phi}\tfrac{d\phi}{dt}\cdot \Delta t+\tfrac{\partial \vec x}{\partial \theta}\tfrac{d\theta}{dt}\cdot \Delta t}_{\text{Taylorentwicklung mit Kettenregel}} \end{eqnarray}$ Wir suchen eine Näherungsformel für Abstand beider Positionen. Dieser Abstand ist näherungsweise der Betrag der Differenz: $\begin{eqnarray} \underbrace{\left \| \vec x[\phi (t+\Delta t),\theta(t+\Delta t)]-\vec x[\phi (t),\theta(t)] \right \|}_{\text{Betrag der Differenz}} \approx \left \|\tfrac{\partial \vec x}{\partial \phi}\tfrac{d\phi}{dt}+\tfrac{\partial \vec x}{\partial \theta}\tfrac{d\theta}{dt} \right \|\cdot \Delta t=\sqrt{\left ( \tfrac{\partial \vec x}{\partial \phi}\tfrac{d\phi}{dt}+\tfrac{\partial \vec x}{\partial \theta}\tfrac{d\theta}{dt}\right )^2}\cdot \Delta t=\sqrt{\begin{pmatrix} \tfrac{d\phi}{dt} \\ \tfrac{d\theta}{dt} \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} \tfrac{\partial \vec x}{\partial \phi}\tfrac{\partial \vec x}{\partial \phi} & \tfrac{\partial \vec x}{\partial \phi}\tfrac{\partial \vec x}{\partial \theta} \\ \tfrac{\partial \vec x}{\partial \theta}\tfrac{\partial \vec x}{\partial \phi} & \tfrac{\partial \vec x}{\partial \theta}\tfrac{\partial \vec x}{\partial \theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \tfrac{d\phi}{dt} \\ \tfrac{d\theta}{dt} \end{pmatrix}}\cdot \Delta t \end{eqnarray}$ (Die Formel gilt nur für "kleine" Abstände, weil die Krümmung der Erdoberfläche vernachlässigt wird.) Die quadratische Form unter der Wurzel ist gerade die Erste Fundamentalform. Der Betrag der Vektordifferenz auf der linken Seite ist gerade die "kleine Weglänge" des Schiffes, welche wir üblicherweise mit $\begin{eqnarray} \Delta s \end{eqnarray}$ bezeichnen. Dividiert man die letzte Gleichung also durch die "kleine Zeit" $\begin{eqnarray} \Delta t \end{eqnarray}$ , erhält man nach dem Grenzübergang $\begin{eqnarray} \Delta t\rightarrow 0 \end{eqnarray}$ die wichtige Formel für die skalare Geschwindigkeit des Schiffes ("Weglänge pro Zeit") $\begin{eqnarray} \lim_{\Delta t \to 0} \tfrac{\Delta s}{\Delta t}=\tfrac{ds}{dt}=\sqrt{\begin{pmatrix} \tfrac{d\phi}{dt} \\ \tfrac{d\theta}{dt} \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} \tfrac{\partial \vec x}{\partial \phi}\tfrac{\partial \vec x}{\partial \phi} & \tfrac{\partial \vec x}{\partial \phi}\tfrac{\partial \vec x}{\partial \theta} \\ \tfrac{\partial \vec x}{\partial \theta}\tfrac{\partial \vec x}{\partial \phi} & \tfrac{\partial \vec x}{\partial \theta}\tfrac{\partial \vec x}{\partial \theta} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \tfrac{d\phi}{dt} \\ \tfrac{d\theta}{dt} \end{pmatrix}}=\sqrt{\text{Erste Fundamentalform}} \end{eqnarray}$ Wenn man die letze Formel nach der Zeit t integriert, kann man die Weglänge eine Schiffes auf der Erdoberfläche entlang einer beliebiegen Kurve berechnen gemäß $\begin{eqnarray} s=\int_{t_1}^{t_2} \sqrt{\text{Erste Fundamentalform}}\,dt \end{eqnarray}$ --------------------------- Ähnliche Betrachtungen kann man anstellen, um den Winkel zu berechnen, mit dem sich die Kurse zweier Schiffe kreuzen usw.
01.08.2015, 16:25	steviehawk	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für das tolle Beispiel, Ich habe noch eine kurze Frage. In dem Buch von C. Bär steht folgender Satz: "Da für jeden Punkt $\begin{eqnarray} p \in S \end{eqnarray}$ (reguläre Fläche) die Tangentialebene ein 2 dim. UVR ist von $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ können wir das Standardskalarprodukt $\begin{eqnarray} \langle .,. \rangle \end{eqnarray}$ des $\begin{eqnarray} \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ einfach auf $\begin{eqnarray} T_pS \end{eqnarray}$ einschränken und wir erhalten ein euklidisches Skalarprodukt auf $\begin{eqnarray} T_pS \end{eqnarray}$ . Die Abbildung, die jedem $\begin{eqnarray} p \in S \end{eqnarray}$ diese Einschränkung $\begin{eqnarray} g_p :=\langle .,. \rangle _{\|T_pS \times T_pS} \end{eqnarray}$ zuordnet, wird erste Fundamentalform von S genannt. Häufig schreiben wir dafür : $\begin{eqnarray} I_p(X,Y) = g_p(X,Y) = \langle X,Y \rangle \end{eqnarray}$ , wobei $\begin{eqnarray} X,Y \in T_pS \end{eqnarray}$ ." Irgendwie klingt das für mich so, dass im Grunde die Abbildung: $\begin{eqnarray} \phi: S \to \text{A = Raum in dem sich das Skalarprodukt befindet} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} p \mapsto g_p \end{eqnarray}$ die also, wie er oben sagt jedem Punkt die Einschränkung zuordnet die erste Fundamentalform wäre, aber das ist doch nicht richtig oder? Diese Einschränkung $\begin{eqnarray} g_p \end{eqnarray}$ ist doch dann die erste Fundamentalform. Hier eben als Skalarprodukt, bei dir im Beispiel als quadratische Form, die ja auch über eine spezielle Beziehung zusammenhängen. Danke für die Hilfe ps: Ist dieses A nicht sogar der Dualraum?

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »