Euklidische Normalform Schmiegquadrik

07.07.2015, 19:31	Nadia.She	Auf diesen Beitrag antworten »
Euklidische Normalform Schmiegquadrik Meine Frage: Hallo Ich habe die Schmiegquadrik $\begin{eqnarray} z=3x^2-3xy+3y^2+3y-6x+2 \end{eqnarray}$ durch das Taylorpolynom berechnet. Dazu soll ich jetzt die euklidische Normalform bestimmen. Wie gehe ich da vor? Es liegt zu lange zurück, das ich das mal gemacht habe. Muss ich das z auch auf die linke Seite holen oder setze ich die obige Gleichung einfach 0? Meine Ideen: Ich freue mich über jede Hilfe!
08.07.2015, 11:30	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich schreibe mal auf, was man konkret tun muss. Die Begründung der einzelnen Schritte musst du selbst erschließen. 1.Schritt: Verschiebung des Nullpunktes des Koordinatensystems: Man wählt anstelle des alten Koordinatensystems x,y,z ein neues System x',y',z', dessen Nullpunkt um den Vektor (1\|0\|-1) verschoben ist. Dies geschieht durch die Transformation x=x'+1 y=y' z=z'-1 Einsetzen liefert folgende Quadrik im neuen Koordinatensystem x',y',z' z'=3x'²-3x'y'+3y'² Damit sind die linearen Summanden 3y-6x und der konstante Summand 2 beseitigt. 2.Schritt: Drehung des Koordinatensystems: Um auch den gemischten Summanden 3x'y' zu beseitgen, muss man das neue Koordinatensystem um 45° um die z'-Achse drehen. Das geschieht durch folgende Koordinatentransformation von x',y',z' nach x'',y'',z'' $\begin{eqnarray} x'=x''\cdot \cos(45°)-y''\cdot \sin(45°)=\tfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot (x''-y'') \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y'=x''\cdot \cos(45°)+y''\cdot \sin(45°)=\tfrac{\sqrt{2}}{2}\cdot (x''+y'') \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} z'=z'' \end{eqnarray}$ Einsetzen liefert die gesuchte Normalform $\begin{eqnarray} z''=\tfrac{3}{2}\cdot (x''^2+3y''^2) \end{eqnarray}$ Die bisherigen 2 Koordinatentransformation waren eine Verschiebung und eine Drehung. Dabei wurde die geometrische Form der Fläche z=z(x,y) nicht verändert. Die Fläche wurde also nur "bewegt", nicht "verzerrt". 3.Schritt: Verzerrung des Koordinatensystems: Die noch störenden Faktoren 3/2 und 3 könnte man auch noch beseitigen, indem man das Koordinatensystem verzerrt. Dazu müsste man die z-Achse um den Faktor 3/2 dehnen und die y-Achse um den Faktor $\begin{eqnarray} \tfrac{1}{\sqrt{3}} \end{eqnarray}$ stauchen, was hier aber nicht gemacht werden soll.

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