Fläche einer Ellipse und Schwerpunkt einer Halbellipse (Doppelintegrale)

07.07.2015, 19:34	123sasu	Auf diesen Beitrag antworten »
Fläche einer Ellipse und Schwerpunkt einer Halbellipse (Doppelintegrale) Meine Frage: Hallo! Wir haben folgende Aufgabe in einer Übungsklausur bekommen, da unsere Prüfung bald ansteht: Berechnen sie mittels Doppelintegralen a) Die Fläche einer Ellipse und b) die Lage des Schwerpunktes der Halbellipse (x >= 0) Meine Ideen: Ich weiß überhaupt nicht wie ich an diese Aufgabe rangehen soll, da keine Funktion, Grenzen oder irgendwas angegeben sind... Ich hoffe jemand von euch kann mir da weiter helfen! Dankeschön
07.07.2015, 22:41	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Funktionsgleichung einer Ellipse müsste dir allerdings bekannt sein. Zu a) Praktischerweise berechne die Fläche einer Viertelellipse, denn dann kann von der Ellipsengleichung eine eindeutige Funktionsgleichung erstellt werden: Ellipsengleichung (implizit): $\begin{eqnarray} b^2x^2 + a^2y^2 = a^2b^2 \end{eqnarray}$ , a, b sind bekannt und die Halbachsen der Ellipse Ellipsengleichung explizit (Viertelellipse zwischen x = 0 und x = a) $\begin{eqnarray} y = \frac b a \sqrt {a^2-x^2} \end{eqnarray}$ Damit bewerkstelligst du die weitere Rechnung. Wie diese weitergeht, hat mein leider schon verstorbener Freund H.R. Moser, megamath einstens in einem Beitrag http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausa...4315/14326.html brilliant wie immer und sehr schön beschrieben. mY+
15.07.2015, 14:40	gradi94	Auf diesen Beitrag antworten »
Ellipsenfläche & Schwerpunkt Ich würde abgewandelte Polarkoordinaten verwenden. Die beziehen sich ja auf einen Kreis, hier beziehst du die auf eine Ellipse. Mit $\begin{eqnarray} x= raCos[\alpha ] \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y= rbSin[\alpha ] \end{eqnarray}$ hat man für dA (inf. Flächenelement) $\begin{eqnarray} dA= rabdrd\alpha \end{eqnarray}$ Was man sich leicht überlegen kann, oder einfach mit der Funktionaldeterminate ausrechnet. Auf dieser Basis werden Fläche und Schwerpunkt der Teilellipse fast schon trivial. z.B.: die Ellipsenfläche(ganz): $\begin{eqnarray} \int_{}^{} \! \, dA =\int_{}^{} \! rab \, drd\alpha = ab\left[\int_{0}^{1} \! r \, dr \int_{0}^{2\pi } \! d\alpha \, dx \right] = 1/2ab2\pi =ab\pi \end{eqnarray}$ Die bekannte Flächenformel der Ellipse. Ich hoffe das half, mit freundlichen Grüßen, Kevin-Peter Gradwohl

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