Lokaler Diffeomorphismus - Definitionsmenge bestimmen

07.07.2015, 21:00	danooh	Auf diesen Beitrag antworten »
Lokaler Diffeomorphismus - Definitionsmenge bestimmen Guten Abend ich sitze an folgender Aufgabe und wollte mal nachfragen ob meine Vorgehensweise soweit richtig ist: Aufgabe Geben Sie jeweils eine möglichst große Menge an, auf der die folgenden Funktionen lokale Diffeomorphismen sind: (a) $\begin{eqnarray} f: \mathbb R^{2} \to \mathbb R^{2}; (x,y) \to (x^{3}-3xy^{2}, 3x^{2}y -y^{3}) \end{eqnarray}$ (b) $\begin{eqnarray} g: \mathbb R^{3}- \left\{ (x,y,z)\in \mathbb R^{3}: x=y=0\right\} \to \mathbb R^{3}; (x,y,z)\to (\frac{x}{x^2+y^2} ,\frac{-y}{x^2+y^2} ,z^3) \end{eqnarray}$ zu (a) Meine Vorgehensweise: - Ich bestimme die Jacobi-Matrix $\begin{eqnarray} J_{f} \end{eqnarray}$ und anschließend deren Determinante: Det(J) soll ungleich 0 sein $\begin{eqnarray} J_{f} = \begin{pmatrix} 3x^2-3y^2 & -6xy \\ 6xy & 3x^2-3y^2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Det(J_{f}) = 9(x^2+y^2)^2 \end{eqnarray}$ Und damit erhalte ich $\begin{eqnarray} \Omega = \mathbb R^{3} - \left\{ 0\right\} \end{eqnarray}$ als möglichst große Menge, s.d. f lokaler Diffeomorphismus ist. Werde mich sobald ich zuhause bin, an die (b) machen. Ist die Vorgehensweise denn soweit korrekt?
07.07.2015, 23:36	danooh	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lokaler Diffeomorphismus - Definitionsmenge bestimmen zur (b): Hier komme ich zu dem Ergebnis Jacobideterminante= $\begin{eqnarray} \frac{3z^2}{(x^2+y^2)^2} \end{eqnarray}$ Damit ist g auf $\begin{eqnarray} \Omega:=\mathbb R^{3}- \left\{ (x,y,z)\in \mathbb R^{3}: x=y=0, z=0\right\} \end{eqnarray}$ ein lokaler Diffeomorphismus.
08.07.2015, 00:13	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, wenn ich mich nicht verrechnet habe, stimmt das alles. Aber die Menge für b) ist etwas missverständlich, ersetze das Komma vielleicht besser durch ein 'oder'. Sonst könnte man es mit einem 'und' verwechseln.
08.07.2015, 02:52	danooh	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, vielen Dank !!

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »