Faltung einer Verteilung

07.07.2015, 23:59

FlyingHorse

Faltung einer Verteilung

Meine Frage:
Hallo alle zusammen smile

Folgende Aufgabe wurde mir gestellt:

Es seien X,Y stochastisch unabhängige Zufallsvariablen, beide besitzen eine diskrete Verteilung und mit $\begin{eqnarray*} p \in ]0;1[ \end{eqnarray*}$ gelte für $\begin{eqnarray*} k \in Z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} P(X=k)=P(Y=k)=p*(1-p)^{k-1} \end{eqnarray*}$ (für $\begin{eqnarray*} k \geq 1 \end{eqnarray*}$ , sonst 0).

Zeigen Sie: Für alle $\begin{eqnarray*} k \in N, k \geq 2 \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} P(X+Y=k)=/k-1)p^2(1-p)^{k-2} \end{eqnarray*}$

Hinweis: Es gilt $\begin{eqnarray*} P(X+Y=k)=\sum_{j \in Z}P(X=j,Y=k-j) \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} k \in Z \end{eqnarray*}$

P.S. Das Z soll die Menge der ganzen Zahlen darstellen!

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} P(X+Y=k) = \sum(p*(1-p)^{(j-1)})*(p*(1-p)^{(k-j-1)})\\ =\sum (p^2*(1-p)^{(j-1)+(k-j-1)})\\ =\sum (p^2*(1-p)^{k-2}) =p^2*\sum_{j \in Z}(1-p)^{k-2} \end{eqnarray*}$

Leider komme ich nicht weiter unglücklich

Kann mir jemand helfen?

Vielen Dank!

08.07.2015, 05:35

HAL 9000

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Zitat:

Original von FlyingHorse
$\begin{eqnarray*} P(X=k)=P(Y=k)=p*(1-p)^{k-1} \end{eqnarray*}$ (für $\begin{eqnarray*} k \geq 1 \end{eqnarray*}$ , sonst 0).

[...]

$\begin{eqnarray*} \ldots =p^2*\sum_{{\color{red}j \in Z}}(1-p)^{k-2} \end{eqnarray*}$

Darüber solltest du mal nachdenken, d.h., dass dein Summationsbereich dem Gültigkeitsbereich der Wahrscheinlichkeitsformel widerspricht.

08.07.2015, 12:54

FlyingHorse

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Ich glaube, ich habe es:
$\begin{eqnarray*} ... = p^2*\sum_{j \in Z} = (1-p)^{k-2}\\ =p^2*\sum_{j=2}^k(1-p)^{k-2}\\ =p^2*(k-2)*(1-p)^{k-2} \end{eqnarray*}$

Stimmt das so? Startet j bei 2 (da k >= 2) und endet bei k?
Und da der Term nicht von j abhängt, multipliziere ich ihn einfach mit (k-2)?

Danke im Voraus smile

08.07.2015, 13:31

HAL 9000

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Zitat:

Original von FlyingHorse
Stimmt das so? Startet j bei 2 (da k >= 2) und endet bei k?

Ist das jetzt geraten, damit es vom Ergebnis hinkommt?

Wohl eher passend ist $\begin{eqnarray*} j=1,2,\ldots,k-1 \end{eqnarray*}$ .

08.07.2015, 13:56

FlyingHorse

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von FlyingHorse
Stimmt das so? Startet j bei 2 (da k >= 2) und endet bei k?

Ist das jetzt geraten, damit es vom Ergebnis hinkommt?

Wohl eher passend ist $\begin{eqnarray*} j=1,2,\ldots,k-1 \end{eqnarray*}$ .

Aber wenn ich die Summe von j=1 bis (k-1) nehmen würde, dann würde ich doch auf den Faktor (k-1) und nicht (k-2) kommen, oder?

P.S. Ob ich geraten habe, ist eine gute Frage. Ich glaube eher, mein Gehirn versucht einfach eine plausibel klingende Lösung zu finden.

08.07.2015, 14:00

HAL 9000

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Zitat:

Original von FlyingHorse
Aber wenn ich die Summe von j=1 bis (k-1) nehmen würde, dann würde ich doch auf den Faktor (k-1) und nicht (k-2) kommen, oder?

Ja - irgendwelche Einwände dagegen? Augenzwinkern

08.07.2015, 14:09

FlyingHorse

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von FlyingHorse
Aber wenn ich die Summe von j=1 bis (k-1) nehmen würde, dann würde ich doch auf den Faktor (k-1) und nicht (k-2) kommen, oder?

Ja - irgendwelche Einwände dagegen? Augenzwinkern

Ich Idiot

Vielen Dank, HAL!
Jetzt macht es Sinn... Musste ja auch (k-1) rausbekommen.

Eine Verständnis-Frage habe ich aber noch.
Eigentlich summiere ich von $\begin{eqnarray*} \sum_{j=1,...}^k \end{eqnarray*}$ , da für j = k jedoch 1 rauskommt, schreibe ich direkt $\begin{eqnarray*} \sum_{j=1,...}^{k-1} \end{eqnarray*}$ , oder?

Viele Grüße smile

08.07.2015, 14:11

HAL 9000

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Betrachten wir doch einfach noch mal die eigentliche Faltungsformel, über die du bei der Rechnung so schnell drüber weggegangen bist:

$\begin{align*} P(X+Y=k) = \sum_{j \in Z} P(X=j,Y=k-j) \end{align*}$

Wenn du jetzt die geometrischen Wahrscheinlichkeiten da einsetzen willst, dann muss sowohl $\begin{align*} j\geq 1 \end{align*}$ als auch $\begin{align*} k-j\geq 1 \end{align*}$ gelten, also $\begin{align*} j\geq 1 \end{align*}$ und $\begin{align*} j\leq k-1 \end{align*}$ , zusammen $\begin{align*} 1\leq j\leq k-1 \end{align*}$ .

Ohne raten, ohne tricksen, um auf das Ergebnis zu kommen - einfach richtig im Rahmen der Formelgültigkeit einsetzen.

08.07.2015, 14:15

FlyingHorse

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Zitat:

Original von HAL 9000
Betrachten wir doch einfach noch mal die eigentliche Faltungsformel, über die du bei der Rechnung so schnell drüber weggegangen bist:

$\begin{align*} P(X+Y=k) = \sum_{j \in Z} P(X=j,Y=k-j) \end{align*}$

Wenn du jetzt die geometrischen Wahrscheinlichkeiten da einsetzen willst, dann muss sowohl $\begin{align*} j\geq 1 \end{align*}$ als auch $\begin{align*} k-j\geq 1 \end{align*}$ gelten, also $\begin{align*} j\geq 1 \end{align*}$ und $\begin{align*} j\leq k-1 \end{align*}$ , zusammen $\begin{align*} 1\leq j\leq k-1 \end{align*}$ .

Ohne raten, ohne tricksen, um auf das Ergebnis zu kommen - einfach richtig im Rahmen der Formelgültigkeit einsetzen.

Ja. Faltungen sind irgendwie überhaupt nicht mein Fall smile

(Okay - schlechte Ausrede!)

Vielen Dank für deine Antworten, sie haben mir sehr weitergeholfen! Ich glaube sogar, ich habe diese Rechnung jetzt sogar vollständig verstanden Prost

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