Schätzer und Hypothesentest

08.07.2015, 08:53	mathechell	Auf diesen Beitrag antworten »
Schätzer und Hypothesentest Hallo leider habe ich momentan nicht wirklich verstanden, was der Schätzer ist . Also ich weiß nun, das bei mehreren n's der Erwartungswert u ist und die Varianz o^2/n. Was sagt mir der Schätzer aus, wofür benutze ich ihn? Sowie habe ich noch eine Frage zum Hypothesentest. Ich bin mir immer sehr unsicher, was H0 ist und was H1, und was ist das Signifikanzniveau? Und wie berechne ich dies? Danke schonmal Liebe Grüße
08.07.2015, 13:30	Nullmenge	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schätzer und Hypothesentest Stell dir vor, du willst eine Umfrage durchführen. Zum Beispiel willst du die durchschnittliche Körpergröße in deiner Stadt ermitteln. Dazu gehst du in die Fußgängerzone und vermisst 1000 Leute (n=1000). Du erhält also eine Stichprobe $\begin{eqnarray} x=(x_1,...,x_{1000}) \end{eqnarray}$ . Von dieser Stichprobe kannst du den Mittelwert $\begin{eqnarray} \overline x \end{eqnarray}$ als einfaches arithmetisches Mittel bestimmen. Auch kannst du von den $\begin{eqnarray} x_1,...,x_n \end{eqnarray}$ die Varianz berechnen. Diese gibt die (quadrierte) Streuung der Werte deiner Stichprobe um ihren Mittelwert an. Nun kann es aber sein, dass deine Stichprobe doof ist und du einen merkwürdigen Wert erhältst, weil du z. B. nur extrem große Menschen vermessen hast. Du machst darauf hin eine weitere Stichprobe $\begin{eqnarray} X_2 \end{eqnarray}$ von weiteren 1000 Messungen. Hier berechnest du wieder Mittelwert und Varianz und wirst feststellen, dass andere Werte herauskommen. Erkenntnis: Jede Stichprobe im Unfang n hat einen unterschiedlichen Mittelwert / Erwartungswert. Es wäre schon krasser Zufall, wenn die Mittelwerte immer gleich wären. Die Frage, die sich jetzt stellt ist, welchen Mittelwert du nun erwarten kannst. Und da kommen die Schätzer ins Spiel. Ein Schätzer ist eine Funktion, die etwas schätzt (daher der Name ): Du betrachtest nun jede Messung als Zufallsvariable. Das heißt, du erhältst $\begin{eqnarray} X_1,X_2,...,X_n \end{eqnarray}$ . Daraus kannst du nun den Mittelwert berechnen: $\begin{eqnarray} \overline X=\frac1n\sum\limits_{k=1}^nX_i \end{eqnarray}$ Der Schätzer sieht hier also genauso aus, wie die Berechnung des arithmetischen Mittels. Der Unterschied liegt nur in der Auffassung: Beim arithmetischen Mittel nimmst du Werte daher, beim Schätzer Zufallsvariablen. Damit ist aber auch der Schätzer wieder eine Zufallsvariable. Folglich kannst du Schätzern gleiche Überlegungen anstellen wie mit herkömmlichen Zufallsvariablen, also sowas wie Erwartungswerte, Varianzen, etc. berechnen. Schätzer können auch schöne Eigenschaften haben. Eine davon ist Erwartungstreue. Der Stichprobenmittelwert ist ein solcher erwartungstreuer Schätzer: $\begin{eqnarray} \mathbb E(\overline X)=\overline X \end{eqnarray}$ (kann man nachrechnen). Schätzer benutzt man auch, um sogenannte Konfidenzintervalle zu berechnen. Die Idee ist hier folgende: Du berechnest den Erwartungswert des Schäters. Wie schon gesagt, hat jede Stichprobe einen anderen Erwartungswert. Also legst du um den Erwartungswert ein Intervall, von dem du glaubst, dass der wahre Mittelwert mit einer gewissen Sicherheit drin liegt. Dieses Intervall nennt man Konfidenzintervall, die verbleibende Unsicherheit nennt man Irrtumsniveau (das will man klein halten). ACHTUNG: Ein Irrtumsniveau von 10% bedeutet NICHT, dass 90% aller Mittelwerte im Konfidenzintervall liegen, SONDERN dass mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% der Mittelwert einer zufälligen Stichporobe darin liegt. Ich hoffe, ich konnte dir mit diesem Teil der Frage zunächst helfen. Über Hypotesentest lasse ich mich später ausführlicher aus. Ich muss jetzt erstmal zur Vorlesung
09.07.2015, 13:55	Nullmenge	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Schätzer und Hypothesentest So nun zum 2. Teil: H_0 ist die Nullhypotese, also eigentlich deine Grundannahme. H_1 ist die Alternative oder auch Gegenhypotese. Wenn du einen Test machen willst (z. B. fragst du dich, ob eine Münze fair ist), dann kannst du nur mit einer gewissen Sicherheit eine Aussage treffen. Es bleibt also eine Restunsicherheit. Diese nennt man Irrtumswahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ . Die Gegenwahrscheinlichkeit (also die Sicherheit) heißt dann Signifikanzniveau $\begin{eqnarray} 1-\alpha \end{eqnarray}$ . Ein statistischer Test kann aber nie die Nullhypothese beweisen, sondern nur die Alternative mit der Irrtumswahrscheinlichkeit ablehnen. Deswegen schreibt man das, was man eigentlich zeigen will, in die Alternative. Im wesentlichen gibt es folgende Eselsbrücke: Gleichheitszeichen in H_0 Das zu Zeigende in H_1 H_0 besagt: "Es hat sich nichts verändert, alles bleibt beim Alten"

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