Reelle Integrale - Komplex

09.07.2015, 16:13

Münze

RE: Reelle Integrale - Komplex

Hallo zusammen ich soll die beiden Integrale berechnen:

a) $\begin{eqnarray*} \int_0^{\infty}\frac{\sqrt{x}}{49+x^2}dx \end{eqnarray*}$

b) $\begin{eqnarray*} \int_0^{\infty}\frac{\cos(3x)}{(9+x^2)^2}dx \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:

a) Hier weiß ich nicht so recht warum man den Residuensatz anwenden darf. Normal müsste der Nennergrad um mindestens 2 Grad höher besitzen als der Zähler. Wie stelle ich das hier an?

b) Hier betrachte ich:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{e^{3iz}}{(z-3i)^2(z+3i)^2}=\lim_{R\to\infty}\int_{-R}^{R}\frac{\cos(3x)}{(9+x^2)^2}dx+\int\frac{e^{3iz}}{(z-3i)^2(z+3i)^2}dz \end{eqnarray*}$

Nun die Residuen bestimmen

$\begin{eqnarray*} Res\{f(z)|z_0=3i\}=\lim_{z\to 3i}\frac{d}{dz}[(z-3i)^2\frac{e^{3iz}}{(z-3i)^2(z+3i)^2}] \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Res\{f(z)|z_0=-3i\}=\lim_{z\to -3i}\frac{d}{dz}[(z+3i)^2\frac{e^{3iz}}{(z-3i)^2(z+3i)^2}] \end{eqnarray*}$

Soweit richtig?

Vielen Dank soweit. smile

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Ich erhalte die Residuen:

$\begin{eqnarray*} Res\{f(z)|z_0=3i\}=\lim_{z\to 3i}\frac{d}{dz}[(z-3i)^2\frac{e^{3iz}}{(z-3i)^2(z+3i)^2}]=-\frac{16i}{216\cdot e^9} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} Res\{f(z)|z_0=-3i\}=\lim_{z\to -3i}\frac{d}{dz}[(z+3i)^2\frac{e^{3iz}}{(z-3i)^2(z+3i)^2}]=-\frac{16e^9i}{217} \end{eqnarray*}$
Stimmt das?

Zwei Beiträge zusammengefügt, damit Antwortenzähler wieder auf Null steht. (Guppi12)

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Die b) habe ich herausbekommen und erhalte da:
$\begin{eqnarray*} \int_0^{\infty}\frac{\cos(3x)}{(9+x^2)^2}dx=\frac{5\pi}{54e^9} \end{eqnarray*}$

Jetzt frage ich mich noch wie ich die a) geknackt bekomme. Laut wolframalpha soll herauskommen: http://www.wolframalpha.com/input/?i=\int_0^{\infty}\frac{\sqrt{x}}{49%2Bx^2}dx

Wenn ich den Pol $\begin{eqnarray*} z_0=7i \end{eqnarray*}$ betrachte dann erhalte ich als Residuum:

$\begin{eqnarray*} \lim_{z\to 7i}\frac{\sqrt{z}}{z+7i}=\frac{\sqrt{7i}}{14i} \end{eqnarray*}$

Mit dem Residuensatz gilt dann:

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2}2\pi i[\frac{\sqrt{7i}}{14i}]=\frac{\pi\sqrt{7i}}{14} \end{eqnarray*}$

Das stimmt mit der Lösung nicht überein. Wie bekomme ich die Aufgabe gelöst?

Zwei Beiträge zusammengefügt, damit Antwortenzähler wieder auf Null steht. (Steffen)

09.07.2015, 17:29

HAL 9000

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Zitat:

Original von Münze
a) Hier weiß ich nicht so recht warum man den Residuensatz anwenden darf. Normal müsste der Nennergrad um mindestens 2 Grad höher besitzen als der Zähler. Wie stelle ich das hier an?

Man könnte ja vorab substituieren. $\begin{align*} t=\sqrt{x} \end{align*}$ ist da naheliegend.

Das hilft dann auch, unter Ausnutzung der Symmetrie aus dem Integral $\begin{align*} \int\limits_0^{\infty} \end{align*}$ ein (für die Nutzung des Residuensatzes erforderliches) Integral $\begin{align*} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \end{align*}$ zu machen. Augenzwinkern

09.07.2015, 17:50

Münze

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Hallo Hal9000 oder auch das rote Kameraauge Big Laugh

Ich habe das mit deinem Vorschlag einmal substituert und erhalte $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dt}{t^4+49} \end{eqnarray*}$

Wie bestimme ich denn hiervon die Polstellen? Wenn ich den Nenner Null setze bringt mich das auch nicht wirklich weiter da $\begin{eqnarray*} t^4+49=(t^2+7i)(t^2-7i) \end{eqnarray*}$ und das lässt sich jetzt nicht weiter zerlegen?

09.07.2015, 18:06

HAL 9000

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Zitat:

Original von Münze
Ich habe das mit deinem Vorschlag einmal substituert und erhalte $\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dt}{t^4+49} \end{eqnarray*}$

Da scheint was schiefgegangen zu sein - ich komme auf $\begin{align*} \int\limits_{-\infty}^{\infty}\frac{t^2}{t^4+49} ~ \dd t \end{align*}$ . Zur Erinnerung: Es ist $\begin{align*} \dd x = 2t ~ \dd t \end{align*}$ , anscheinend hast du das $\begin{align*} 2t \end{align*}$ in den Nenner statt in den Zähler gepackt... unglücklich

Zitat:

Original von Münze
da $\begin{eqnarray*} t^4+49=(t^2+7i)(t^2-7i) \end{eqnarray*}$ und das lässt sich jetzt nicht weiter zerlegen?

Unfug - natürlich lässt sich das weiter zerlegen - so wie jedes Polynom im Komplexen in Linearfaktoren zerfällt.

09.07.2015, 18:31

Münze

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Ok dann muss ich $\begin{eqnarray*} t^2=-7i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t^2=7i \end{eqnarray*}$ lösen.

$\begin{eqnarray*} t=\pm i\sqrt{7} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t=\pm \sqrt{7i} \end{eqnarray*}$

Dann erhalte ich $\begin{eqnarray*} (t-i\sqrt{7})(t+i\sqrt{7})(t+\sqrt{7i})(t-\sqrt{7i}) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{4}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dt}{t^4+49}=\frac{1}{4}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{dt}{(t-i\sqrt{7})(t+i\sqrt{7})(t+\sqrt{7i})(t-\sqrt{7i})} \end{eqnarray*}$

Soweit müsste es jetzt aber stimmen das ich mich an die Berechnung der Residuen machen kann? verwirrt

09.07.2015, 18:35

HAL 9000

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Nein, es sind die komplexen Wurzeln von $\begin{align*} 7i \end{align*}$ sowie $\begin{align*} -7i \end{align*}$ zu ermitteln, die beiden von dir angegebenen Werte $\begin{align*} i\sqrt{7} \end{align*}$ und $\begin{align*} i\sqrt{7} \end{align*}$ gehören nicht dazu (deren Quadrat ist jeweils der reelle Wert -7). unglücklich

Kurzum, es sind die vier Werte $\begin{align*} (\pm 1 \pm i)\cdot \sqrt{\frac{7}{2}} \end{align*}$ (die beiden $\begin{align*} \pm \end{align*}$ sind jeweils getrennt wählbar, also 2x2=4 Kombinationen).

09.07.2015, 18:39

Münze

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Wie kommst du denn darauf? Ich dachte eigentlich immer das ich in Algebra nicht so eine Niete sei. Forum Kloppe

09.07.2015, 19:34

Münze

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Ich habe doch $\begin{eqnarray*} t^4+49=(t^2+7i)(t^2-7i) \end{eqnarray*}$ wenn ich nun (t^2+7i)(t^2-7i) weiter zerlegen will muss ich mir die einzelnen Produkte anschauen also t^2+7i und t^2-7i. Nun muss ich dies doch nach t auflösen?

$\begin{eqnarray*} t^2=-7i \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t^2=7i \end{eqnarray*}$ nun die Wurzel ziehen:

$\begin{eqnarray*} t=\pm\sqrt{-7i} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} t=\pm\sqrt{7i} \end{eqnarray*}$

Das war mein Ansatz was mache ich hier falsch?

09.07.2015, 19:40

HAL 9000

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Jetzt sieht es ja auch besser aus - ich hatte explizit die vormals falsch angegeben Werte kritisiert:

Zitat:

Original von HAL 9000
die beiden von dir angegebenen Werte $\begin{align*} i\sqrt{7} \end{align*}$ und $\begin{align*} i\sqrt{7} \end{align*}$ gehören nicht dazu (deren Quadrat ist jeweils der reelle Wert -7).

Schreib doch bitte jetzt noch $\begin{align*} \pm\sqrt{7i} \end{align*}$ und $\begin{align*} \pm\sqrt{-7i} \end{align*}$ in der üblichen algebraischen Form $\begin{align*} a+bi \end{align*}$ , dann kommst du auf die von mir angegebenen Werte.

09.07.2015, 19:48

Münze

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Muss man das machen? Ehrlich gesagt weiß ich garnicht wie ich das in diese Form bringen soll.

$\begin{eqnarray*} (t-\sqrt{7i})(t+\sqrt{7i})(t+\sqrt{-7i})(t-\sqrt{-7i}) \end{eqnarray*}$

Ich habe in meiner ersten Rechnung eigentlich das Selbe gemacht bloß habe ich bei $\begin{eqnarray*} \sqrt{-7i} \end{eqnarray*}$ noch ausgenutzt das $\begin{eqnarray*} -1=i^2 \end{eqnarray*}$ gilt und dann das i davor geschrieben. Geht das jetzt so? Bzw. wie bringt man das denn auf die Form $\begin{eqnarray*} a+ib \end{eqnarray*}$ ? Das geht doch wieder nur durch total wilde Umformungen oder nicht?

09.07.2015, 19:56

HAL 9000

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Zitat:

Original von Münze
Ich habe in meiner ersten Rechnung eigentlich das Selbe gemacht bloß habe ich bei $\begin{eqnarray*} \sqrt{-7i} \end{eqnarray*}$ noch ausgenutzt das $\begin{eqnarray*} -1=i^2 \end{eqnarray*}$ gilt und dann das i davor geschrieben.

Dann hättest du $\begin{align*} i\sqrt{7i} \end{align*}$ statt $\begin{align*} i\sqrt{7} \end{align*}$ schreiben müssen. Hörst du jetzt bitte mal auf, den toten Gaul zu reiten. Forum Kloppe

Zitat:

Original von Münze
Bzw. wie bringt man das denn auf die Form $\begin{eqnarray*} a+ib \end{eqnarray*}$ ?

Normales komplexes Wurzelziehen, solltest du irgendwann doch gelernt haben!

09.07.2015, 20:12

Münze

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Nein, keine Ahnung. Das wird mir auch langsam zu doof. Ich habe mir das jetzt bei wolframalpha berechnen lassen.

Den Rest sollte ich jetzt hinbekommen. Trotzdem Danke

09.07.2015, 20:20

HAL 9000

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Kein Durchhaltevermögen. unglücklich

Trotz unsäglicher Trotzdem-Bemerkung gern geholfen. Wink

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