Faltung zweier gleichverteilter Zufallsvariablen

08.07.2015, 15:51

FlyingHorseAgain

Faltung zweier gleichverteilter Zufallsvariablen

Meine Frage:
Hallo,

ich brauche nochmal eure Hilfe smile

X und Y sind gleichverteilt mit der Dichtefunktion:
$\begin{eqnarray*} f(w) = 1_{[1,2]}(w) \end{eqnarray*}$

(1 soll in diesem Falle die charakteristische Funktion darstellen)

Nun soll die Wahrscheinlichkeitsdichte für Z = X+Y berechnet werden

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} f_{X+Y}=\int_{-\infty}^{\infty}1_{[1,2]}(z-x)*1_{[1,2]}(x)dx\\<br /> ...\\<br /> =\int_{-\infty}^{\infty}\max(1,z-2) \leq x \leq \min(z-1,2) \end{eqnarray*}$

Jetzt geht es an die Fallunterscheidung und da hört es schon fast bei mir auf. Ich vermute:

1. $\begin{eqnarray*} 1 \leq x \leq (z-1) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} z \geq 2 \end{eqnarray*}$
2. $\begin{eqnarray*} 1 \leq x \leq 2 \end{eqnarray*}$ gilt immer
3. $\begin{eqnarray*} (z-2) \leq x \leq (z-1) \end{eqnarray*}$ gilt immer
4. $\begin{eqnarray*} (z-2) \leq x \leq 2 \end{eqnarray*}$ gilt für $\begin{eqnarray*} z \leq 4 \end{eqnarray*}$

In meinem Lösungsbuch steht, dass am Ende der ganzen Rechnerei eine Dreieckverteilung rauskommen soll, aber ich weiß einfach nicht mehr weiter.

Kann mir jemand einen Schubs in die richtige Richtung geben?

08.07.2015, 15:59

HAL 9000

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Zitat:

Original von FlyingHorseAgain
$\begin{eqnarray*} =\int_{-\infty}^{\infty}\max(1,z-2) \leq x \leq \min(z-1,2) \end{eqnarray*}$

So geschrieben ist das symbolischer Unfug. unglücklich

Was du vermutlich meinst: Das Integral $\begin{align*} \int\limits_{-\infty}^{\infty} \end{align*}$ kann eingeschränkt werden auf $\begin{align*} \int\limits_{\max(1,z-2)}^{\min(z-1,2)} \end{align*}$ .

Stimmt aber auch nur für $\begin{align*} 2\leq z\leq 4 \end{align*}$ , für alle anderen $\begin{align*} z \end{align*}$ ist der Integrand (und damit der Faltungsdichtewert) immer gleich Null.

08.07.2015, 16:12

FlyingHorseAgain

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von FlyingHorseAgain
$\begin{eqnarray*} =\int_{-\infty}^{\infty}\max(1,z-2) \leq x \leq \min(z-1,2) \end{eqnarray*}$

So geschrieben ist das symbolischer Unfug. unglücklich

Okay - sehe ich sofort ein!
Leider hilft mir das gerade nicht für die Aufgabe weiter, da ich irgendwie eine Denkblockade habe. Denn ich weiß weder, wie ich $\begin{align*} \int\limits_{-\infty}^{\infty}x \end{align*}$ integriere, noch wie ich eine sinnvolle Fallunterscheidung machen kann :/

08.07.2015, 16:14

HAL 9000

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Zitat:

Original von FlyingHorseAgain
wie ich $\begin{align*} \int\limits_{-\infty}^{\infty}x \end{align*}$ integriere

Grade haben wir diskutiert, dass das Integral auf ein endliches Intervall eingeschränkt werden kann - bereits wieder vergessen?

Und woher Integrand $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ kommt, das möchte ich auch gern mal wissen. verwirrt

08.07.2015, 16:24

FlyingHorseAgain

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von FlyingHorseAgain
wie ich $\begin{align*} \int\limits_{-\infty}^{\infty}x \end{align*}$ integriere

Oh, sorry. Ich hatte den Latex-Teil von dir kopiert, damit ich ihn nicht wieder selbst schreiben muss und habe wohl unachtsam einfach auf Antwort erstellen geklickt.

Irgendwie verstehe ich gerade gar nichts mehr verwirrt

Ich verstehe, dass ich als Integralgrenzen max(1,z-2) und min(z-1,2) angeben kann, allerdings verstehe ich jetzt überhaupt nicht mehr, worüber ich integriere.

Ich hatte doch am Anfang zwei charakteristische Funktionen.
Diese musste ich multiplizieren, was durch die Schnittmenge von den beiden erreicht wird.
Somit konnte ich Grenzen für mein z bestimmen.

Und jetzt? (Ich weis, das ist die dümmste Frage, aber ich weiß nicht mehr weiter)

08.07.2015, 17:33

HAL 9000

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Also: Das Produkt der Indikatorfunktionen ist gleich 1, wenn beide Indikatorfunktionen gleich 1 sind - in allen anderen Fällen ist das Produkt gleich Null (und damit für das Integrieren obsolet).

Wann sind beide Indikatorfunktionswerte gleich 1: Für die $\begin{align*} x \end{align*}$ , für die zugleich $\begin{align*} 1\leq x\leq 2 \end{align*}$ und $\begin{align*} 1\leq z-x\leq 2 \end{align*}$ gilt, letzteres ergibt nach $\begin{align*} x \end{align*}$ umgestellt $\begin{align*} z-2\leq x\leq z-1 \end{align*}$ . Beide Doppelungleichungen vereinigt ergibt sich dein $\begin{align*} \max(1,z-2)\leq x\leq \min(2,z-1) \end{align*}$ . Für $\begin{align*} z<2 \end{align*}$ sowie für $\begin{align*} z>4 \end{align*}$ gibt es kein $\begin{align*} x \end{align*}$ , dass diese Doppelungleichung erfüllt.

Für die anderen z, also für $\begin{align*} 2\leq z\leq 4 \end{align*}$ hat man dann

$\begin{align*} f_{X+Y}(z) = \int\limits_{\max(1,z-2)}^{\min(z-1,2)} 1 ~ \dd x = \min(z-1,2) - \max(1,z-2) \end{align*}$ .

Wenn man die min/max jetzt noch "loswerden" will, dann muss man die Teilfälle $\begin{align*} 2\leq z\leq 3 \end{align*}$ und $\begin{align*} 3< z\leq 4 \end{align*}$ betrachten.

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