Index einer linearen Abbildung, unabhängig von Basiswahl (Indextheorie)

08.07.2015, 16:53

Iorek

Index einer linearen Abbildung, unabhängig von Basiswahl (Indextheorie)

Aloha,

auch wenn der Titel mehr nach linearer Algebra klingt, stammt der Großteil der Theorie aus der Analysis (Funktionentheorie, Differentialgleichungen, Umlaufzahlen...).

Kurzfassung: sei $\begin{align*} A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\in\mathbb R^{2\times 2} \end{align*}$ linear mit $\begin{align*} \det(A)\neq 0 \end{align*}$ und sei $\begin{align*} \gamma(t)=\begin{pmatrix} \cos(t) \\ \sin(t) \end{pmatrix} \end{align*}$ eine Parametrisierung des Einheitskreises.

Dann ist $\begin{align*} I_A(\gamma)=\frac{\det(A)}{2\pi} \int\limits_{0}^{2\pi}\! \frac{1}{(a\cos(t)+b\sin(t))^2+(c\cos(t)+d\sin(t))^2}\, \mathrm{d}t \end{align*}$ wohldefiniert und heißt Index von $\begin{align*} \gamma \end{align*}$ unter $\begin{align*} A \end{align*}$ . Ich will nun zeigen: ist $\begin{align*} B\in\mathbb{R}^{2\times 2} \end{align*}$ ähnlich zu $\begin{align*} A \end{align*}$ , so ist $\begin{align*} I_B(\gamma)=I_A(\gamma) \end{align*}$ .

Wo kommt das ganze her? Es handelt sich um einen Spezialfall des Index einer Jordankurve unter einem Vektorfeld. Ist $\begin{align*} U\subset\mathbb R^2 \end{align*}$ offen, $\begin{align*} f\in C^1(U) \end{align*}$ und $\begin{align*} \gamma \end{align*}$ ein glatter, positiv orientierter Jordanweg (also stetig differenzierbar mit $\begin{align*} \gamma'(t)\neq 0 \end{align*}$ und einfach geschlossen), so heißt $\begin{align*} I_f(\gamma) = \frac{1}{2\pi}\int\limits_{a}^b\!\frac{f_1(\gamma_1(t))\cdot [f_2(\gamma_2(t))]'-f_2(\gamma_2(t))\cdot[f_1(\gamma_1(t))]'}{f_1(\gamma_1(t))^2+f_2(\gamma_2(t))^2}\,\mathrm{d} t \end{align*}$ der Index von $\begin{align*} \gamma \end{align*}$ unter $\begin{align*} f \end{align*}$ . Mit ein paar Umformungen gelangt man zu $\begin{align*} I_f(\gamma)=n_{f\circ\gamma}(0) \end{align*}$ , d.h. der Index ist die Umlaufzahl der Bildkurve $\begin{align*} f\circ\gamma \end{align*}$ um $\begin{align*} 0 \end{align*}$ . Insbesondere ist der Index stets ganzzahlig.

Sind nun $\begin{align*} A,B \end{align*}$ ähnliche Matrizen, so beschreiben sie die gleiche lineare Abbildung bezüglich verschiedener Basen, also sollte $\begin{align*} I_A(\gamma)=I_B(\gamma) \end{align*}$ sein. Beweisen konnte ich es bisher aber noch nicht...

Nach Voraussetzung existiert eine invertierbare Matrix $\begin{align*} S=\begin{pmatrix} i & j \\ k & l \end{pmatrix}\in GL(2,\mathbb R) \end{align*}$ mit $\begin{align*} S^{-1}AS=B \end{align*}$ . Damit habe ich $\begin{align*} I_B(\gamma)=I_{S^{-1}AS}(\gamma)=\frac{\det(S^{-1}AS)}{2\pi} \int\limits_{0}^{2\pi}\! \frac{1}{(\tilde{a}\cos(t)+\tilde{b}\sin(t))^2+(\tilde{c}\cos(t)+\tilde{d}\sin(t))^2}\, \mathrm{d}t \end{align*}$ angesetzt, wobei $\begin{align*} \tilde{a} \end{align*}$ etc. die entsprechenden Einträge in $\begin{align*} S^{-1}AS \end{align*}$ sind. Das führte zu einem herrlichen Buchstabensalat, jedoch nicht zur gewünschten Gleichheit.

Ich werde noch etwas weiter mit meinem aktuellen Ansatz rumprobieren, würde mich aber über andere Vorschläge und Anregungen freuen. smile

08.07.2015, 19:12

HAL 9000

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Bei symmetrischen Matrizen $\begin{align*} A \end{align*}$ hat ja $\begin{align*} S \end{align*}$ die Form einer Drehmatrix $\begin{align*} \begin{pmatrix} \cos(\varphi) & \sin(\varphi) \\ -\sin(\varphi) & \cos(\varphi) \end{pmatrix} \end{align*}$ , und ich könnte mir vorstellen, dass es dann mit "Verschiebe"-Substitution $\begin{align*} t' = t\pm \varphi \end{align*}$ irgendwie hinkommt ... Habe allerdings Zweifel, ob bzw. wie das auf nichtsymmetrische $\begin{align*} A \end{align*}$ übertragen werden soll/kann.

Hab jetzt nichts in der Richtung gerechnet, die vorgenannten Gedanken basieren rein auf Intuition.

08.07.2015, 20:52

Iorek

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Ich werde den Ansatz für symmetrische Matrizen mal verfolgen, evtl. ergibt sich in der Rechnung ja eine Möglichkeit das zu verallgemeinern. Andere Vorschläge sind aber natürlich willkommen. smile

Und: auch wenn mir das gerade für mein Problem nicht direkt weiterhilft, trotzdem danke. Teufel

09.07.2015, 13:35

Iorek

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Ein kleines Update: mein eigentliches, großes Resultat sollte ich anders beweisen können. Mein Ziel ist es, den Index eines isolierten, stationären Punktes zu klassifizieren. In "Perko - Differential Equations and Dynamical Systems" ist das zwar behauptet, wird aber mit einem "Passt schon irgendwie"-Beweis abgetan (https://books.google.de/books?hl=de&id=A...0theory&f=false).

Für meinen aktuellen Ansatz: $\begin{align*} I_A(\gamma)=\frac{ad-bc}{2\pi} \int\limits_{0}^{2\pi}\! \frac{1}{(a\cos(t)+b\sin(t))^2+(c\cos(t)+d\sin(t))^2}\, \mathrm{d}t \end{align*}$ . Die rechte Seite ist stetig in $\begin{align*} (a,b,c,d)\in\mathbb R^4 \end{align*}$ , der Index ist ganzzahlig. Ich muss es noch genau durchrechnen, aber ich denke, dass man nun mit einer Fallunterscheidung für $\begin{align*} ad-bc>0 \end{align*}$ bzw. $\begin{align*} <0 \end{align*}$ weiter kommt, indem man die Stetigkeit/Ganzzahligkeit ausnutzt.

09.07.2015, 15:38

Guppi12

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Wahrscheinlich ist dir das bekannt, aber $\begin{eqnarray*} GL_2(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ zerfällt in genau zwei Zusammenhangskomponenten, nämlich die mit positiver und die mit negativer Determinante.

Ist nun die rechte Seite eine stetige Abbildung in $\begin{eqnarray*} a,b,c,d \end{eqnarray*}$ , dann musst du nichts mehr durchrechnen, denn stetige Abbildungen in einen diskreten Raum sind ja bekanntlich auf ihren Zusammenhangskomponenten konstant.

Das wundert mich allerdings ein wenig, denn dann wären überhaupt nur zwei Werte für den Index möglich. Kommt das hin oder habe ich einen Denkfehler?

09.07.2015, 15:52

Iorek

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Zitat:

Original von Guppi12
Wahrscheinlich ist dir das bekannt, aber $\begin{eqnarray*} GL_2(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ zerfällt in genau zwei Zusammenhangskomponenten, nämlich die mit positiver und die mit negativer Determinante.

Bekannt war mir das nicht, aber implizit verwende ich das, ja (bzw. ich konstruiere mir passende Wege die zu einer leichten Auswertung des Integrals führen). smile

Zitat:

Original von Guppi12
Das wundert mich allerdings ein wenig, denn dann wären überhaupt nur zwei Werte für den Index möglich. Kommt das hin oder habe ich einen Denkfehler?

Das kommt so wunderbar hin und du hast keinen Denkfehler. Es ist $\begin{align*} I_A(\gamma)=\pm 1 \end{align*}$ , wobei $\begin{align*} I_A(\gamma)=-1 \end{align*}$ genau dann, wenn es sich um einen Sattelpunkt (also $\begin{align*} ad-bc<0 \end{align*}$ ) handelt und $\begin{align*} I_A(\gamma)=1 \end{align*}$ sonst.

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