Norm Beweisen

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08.07.2015, 22:30	Row	Auf diesen Beitrag antworten »
Norm Beweisen [attach]38664[/attach] Liege ich richtig, dass alle 3 Normen sind? zum bsp 1. $\begin{eqnarray} p_(f)= \left \| f(0) \right \| =0 -> f(0) = 0 \end{eqnarray}$ 2. . $\begin{eqnarray} p_(\alpha f)= \left \|\alpha f(0) \right \| =\alpha \left \| f(0) \right \|=\alpha p_(f) \end{eqnarray}$ 3. $\begin{eqnarray} p_(f+g)=\left \| f(0) +g(0) \right \| \leq \left \| f(0) \right \| +\left \| g(0) \right \| = p_(f)+ p_(fg) \end{eqnarray}$ Allerdings irgendwie, verstehe ich nicht wieso es f höchsten 2.Grades sei soll?
08.07.2015, 22:36	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, nein, da liegst du nicht richtig. In deinem Beispiel die erste Eigenschaft: Überlege dir nochmal genau, was da zu zeigen ist und was du gezeigt hast. Stimmt das überein?
08.07.2015, 22:43	Row	Auf diesen Beitrag antworten »
Die erste Eigenschaft ist die Definitheit: Dazu muss ich zeigen wenn $\begin{eqnarray} p_(f)=0 \end{eqnarray}$ <=> $\begin{eqnarray} \left \| f(0) \right \| =0 \end{eqnarray}$ Ist das bisher korrekt?
08.07.2015, 22:48	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das ist nicht korrekt. In der allgemeinen Definition einer Norm geht es ja garnicht um Normen von Funktionen, da kann also schlecht die Rede sein von einer Bedingung wie $\begin{eqnarray} \|f(0)\| = 0 \end{eqnarray}$ . Was ist also die richtige Bedingung, die dort gefordert wird?
08.07.2015, 22:53	Row	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} p_(f)=0 \end{eqnarray}$ -> f =0
08.07.2015, 22:55	Row	Auf diesen Beitrag antworten »
ups zuschnell abgeschickt alle für alle f element von V für die $\begin{eqnarray} p_(f)=0 \end{eqnarray}$ -> muss f =0 gelten
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08.07.2015, 22:58	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau, das ist richtig. Aber das ist doch nicht das gleiche wie $\begin{eqnarray} \|f(0)\| = 0 \end{eqnarray}$ . Oder fällt dir kein Polynom höchstens zweiten Grades ein, das zwar eine Nullstelle in $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ hat, aber trotzdem nicht das Nullpolynom ist?
08.07.2015, 23:02	Row	Auf diesen Beitrag antworten »
vielen dank dann versuche nochmals die anderen zumachen
08.07.2015, 23:31	Row	Auf diesen Beitrag antworten »
Definitheit ist am schwierigsten zu zeigen: zu b) wir summen über positiven Zahlen, außer für die Nullfunktion, ist der wert immer von 0 verschieden, aber ich weiß nicht wie es zeigen soll zu c) eine funktion höchsten 2 grades (außer die null funktion) kann maximal 2 nullstellen haben sprich: $\begin{eqnarray} \| f(0)\| +\| f(\frac{1}{2})\| +\| f(1)\| \end{eqnarray}$ entweder ist f für 0 oder 1/2 oder 1 von null verschieden. d.h wenn p(f)= 0 dann muss f auch die nullfunktion sein
08.07.2015, 23:38	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu b) gebe ich dir mal den Tipp, zunächst mal die absolute Homogenität unter die Lupe zu nehmen. Bei c) hast du Recht, die Definitheit ist hier gegeben. Wie ist es mit den anderen Eigenschaften?
08.07.2015, 23:55	Row	Auf diesen Beitrag antworten »
zu b) $\begin{eqnarray} p(af)= \int_{0}^{1} \left \| af(t) af(t-1)\right \|dt= a^2\int_{0}^{1} \left \| f(t) f(t-1)\right \|dt \neq ap(f) \end{eqnarray}$ zuc) $\begin{eqnarray} p(af)= \|af(0)\| +\|a f(\frac{1}{2})\| +\| af(1)\|= a(\|f(0)\| +\| f(\frac{1}{2})\| +\| f(1)\|)=ap(f) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p(f+g)=\|g(0)+f(0)\| +\| f(\frac{1}{2})+g(\frac{1}{2})\| +\| f(1)+g(1)\| \leq \|f(0)\| +\| f(\frac{1}{2})\| +\| f(1)\|+\|g(0)\| +\| g(\frac{1}{2})\| +\| g(1)\| = p(g)+p(f) \end{eqnarray}$
08.07.2015, 23:56	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, damit haben wirs doch (Der Vollständigkeit halber vielleicht bei b) erwähnen, dass man $\begin{eqnarray} a\not\in\{0,1\} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f\neq 0 \end{eqnarray}$ wählt.) Edit: Was mir grad noch aufgefallen ist: du hast bei den Homogenitätsbeweisen oftmals den Betrag vergessen.
08.07.2015, 23:59	Row	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank! eine frage gibt es einen schnell weg nur die Definitheit zu b) zu zeigen? (nur aus Interesse)
09.07.2015, 00:10	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, den gibt es. Sei $\begin{eqnarray} f\neq 0 \end{eqnarray}$ , setze $\begin{eqnarray} g:[0,1]\to\mathbb R,x\mapsto \|f(x)f(1-x)\| \end{eqnarray}$ . Dann: 1) $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ ist stetig, überall $\begin{eqnarray} \geq 0 \end{eqnarray}$ und es gibt einen Punkt $\begin{eqnarray} x_0\in [0,1] \end{eqnarray}$ , wo $\begin{eqnarray} g \end{eqnarray}$ echt größer als $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ ist. 2) Eine stetige Funktion, die nirgends negativ ist und an mindestens einem Punkt echt positiv ist, hat positives Integral. (Auf die Stetigkeit lässt sich hierbei nicht verzichten, sonst wird es falsch.) Folgere aus 1) und 2), dass $\begin{eqnarray} p_2(f) > 0 \end{eqnarray}$ , falls $\begin{eqnarray} f\neq 0 \end{eqnarray}$ . 1) ist ziemlich offensichtlich. 2) müsstest du auch noch beweisen, falls es nicht bekannt ist. Man nutzt die Stetigkeit aus, um sich gleich eine ganze Umgebung zu beschaffen, wo die Funktion größer als ein fester positiver Wert ist und argumentiert dann weiter mit der Monotonie des Integrals. Das können wir gerne noch besprechen, aber für mich ist heute Schluss. Ich werde dann morgen wieder hier reinschauen.

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