Extremwertaufgabe: Kirchturm (Quader + Pyramide) - maximales Volumen

08.07.2015, 23:27

Cristian

Extremwertaufgabe: Kirchturm (Quader + Pyramide) - maximales Volumen

Meine Frage:
Hallo,

über die Woche haben wir eine Extremwert Aufgabe bekommen, die eigentlich ganz einfach zu lösen ist. Jedoch kommt bei mir ein Ergebnis raus, welches irgendwie unrealistisch aussieht. Hat jemand eine Idee, was ich falsch gemacht haben könnte? Ich bin meinen Rechenweg jetzt schon mehrmals durchgegangen.

Hier ist die Aufgabe:
Aus einem Turm in Form eines Quaders mit einer gleichseitigen Pyramide als Dach, soll ein Kanten-Modell aus Draht hergestellt werden, welches die Länge l besitzt. Wie groß muss Kante a sein, dass das Volumen des Turmes maximal wird.

Hier ist auch eine Skizze:
[attach]38667[/attach]

Danke smile

Meine Ideen:
HB:
$\begin{eqnarray*} V(a, h_1, h_s)=a^2*h_1 + \frac{1}{3} * a^2 * h_s \end{eqnarray*}$

NB:
$\begin{eqnarray*} l = 12*a <=> h_1 = \frac{l}{4} - 3a \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h_s = \sqrt{a^2-(\frac{a*\sqrt{2}}{2})^2} = \frac{a}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$

Zielfunktion:
$\begin{eqnarray*} V(a) = a^2 * \frac{l}{4} - 3a^3 + \frac{1}{3} a^2*\frac{a}{\sqrt{2}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} V(a) = \frac{-18 + \sqrt{2}}{6}*a^3 + \frac{l}{4}a^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} V'(a) = \frac{-18 + \sqrt{2}}{2}*a^2 + \frac{l}{2}a \end{eqnarray*}$
Da kommt bei mir dann raus:
$\begin{eqnarray*} a_1 = 0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} a_2 = \frac{l}{18-\sqrt{2} } \end{eqnarray*}$

08.07.2015, 23:52

Bjoern1982

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Der Terminus "gleichseitige Pyramide" ist mir (und ebenso google) zwar nicht bekannt, wenn die Skizze jedoch so gegeben und gewollt war, dann ist es wohl so gemeint.
Was genau lässt dich an der Richtigkeit deines Vorgehens bzw. deiner Ergebnisse zweifeln ?

09.07.2015, 09:40

Cristian126

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Mit gleichseitiger Pyramide meinte ich, eine Pyramide bei der jede Seite gleich lang ist Augenzwinkern

. Unser Mathe-Lehrer hat es kompliziert beschrieben, da wollte ich es zusammenfassen verwirrt

.

Das Ergebnis von $\begin{eqnarray*} a_2 = \frac{l}{18-\sqrt{2} } \end{eqnarray*}$ hat mich an der Richtigkeit zweifeln lassen, normalerweise kamen bei uns recht einfache, passende Lösungen raus.

Du hast Dich im Board mit zwei Accounts angemeldet. Der Account "Cristian" wird daher demnächst gelöscht. Steffen

09.07.2015, 21:58

Cristian126

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Hallo,

Ich hab grad mal das genaue Volumen ausgerechnet, da kommt

$\begin{eqnarray*} V=\frac{3\sqrt2l^3}{103684}+\frac{163l^3}{622104} \end{eqnarray*}$

raus. Sieht eher mehr falsch, als richtig aus verwirrt

09.07.2015, 22:16

Bjoern1982

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Also mit deiner "Sieht komisch aus"-Logik, wirst du nicht weit kommen. Big Laugh

Ich seh da oben jetzt keinen Fehler - kann ein anderer Mitleser gerne bestätigen oder korrigieren.
Durch Pythagoras entstehen nun mal Wurzelterme und dass dein konstantes l da noch irgendwo mit rumfliegt, ist ja auch normal.
Dein maximales Volumen musst du laut Aufgabenstellung ja nicht ausrechnen.
Wichtiger ist der Nachweis, dass in $\begin{eqnarray*} a= \frac{l}{18-\sqrt{2} } \end{eqnarray*}$ auch wirklich ein Maximum vorliegt.

09.07.2015, 22:50

Cristian126

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Ok, du hast recht. Wahrscheinlich ist es richtig, auch wenn es komisch aussieht Big Laugh

. Morgen haben wir wieder Mathe, da frag ich mal.

Ich habe die Volumenfunktion mal als einen Funktiongraphen in GeoGebra gezeichnet, die meint auch das wär das Maximum.

Danke für die Antworten,
Ich meld mich morgen nochmal Wink