Lebesgue-integrierbar

09.07.2015, 18:13	Münze	Auf diesen Beitrag antworten »
Lebesgue-integrierbar Hallo ich habe noch eine Aufgabe an der ich zu knabbern habe: Sei $\begin{eqnarray} f:[0,\pi]\to\mathbb C \end{eqnarray}$ Lebesgue integrierbar. Berechne mit dem Satz von der majorisierten Konvergenz: $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty}\int_0^{\pi}\sin^n(x)f(x)dx \end{eqnarray}$ Nach dem Satz über die majorisierte Konvergenz darf man Limes und Integral vertauschen wenn die Funktion im Integranden beschränkt und gegen eine Funktion konvergiert. Deshalb habe ich erstmal $\begin{eqnarray} \lim_{n\to\infty}\sin^n(x)f(x) \end{eqnarray}$ betrachtet. Der Sinus ist beschränkt und zwar $\begin{eqnarray} \sin(x)\leq 1 \end{eqnarray}$ . Die Funktion $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ lebt nur auf dem Intervall $\begin{eqnarray} [0,\pi] \end{eqnarray}$ und müsste damit auch beschränkt sein? Für die Bestimmung des Grenzwertes dachte ich an das Sandwich Theorem. Damit ist $\begin{eqnarray} 0\leq\sin^n(x)f(x)\leq1\cdot f(x) \end{eqnarray}$ das heißt schonmal das $\begin{eqnarray} \sin^n(x)f(x) \end{eqnarray}$ konvergiert oder? Hat noch jemand eine Idee?
09.07.2015, 18:19	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Idee ist, dass für $\begin{align} x\neq \frac{\pi}{2} \end{align}$ sogar $\begin{align} 0\leq \sin(x)~{\color{red}<}~1 \end{align}$ gilt.
09.07.2015, 18:37	Münze	Auf diesen Beitrag antworten »
Für $\begin{eqnarray} x=\frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ ist der Sinus 1 und somit wird dort auch der größte Wert angenommen. Für $\begin{eqnarray} x\neq\frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ ist der Sinus immer kleiner als 1 und somit gilt dann deine besagte Ungleichung. Das habe ich schonmal verstanden. Die Einschränkung ohne $\begin{eqnarray} \frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ ist aber doch garnicht in der Aufgabe gegeben? Ich sehe nicht so wirklich wie mir das jetzt hilft. Kannst du mir noch weitere Tipps geben?
09.07.2015, 18:39	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
anscheinend muss der Wink mit dem Zaunpfahl her... Argghhh ... was passiert denn mit $\begin{align} \sin^n(x) \end{align}$ für $\begin{align} n\to \infty \end{align}$ wenn $\begin{align} \sin(x) \end{align}$ echt kleiner als 1 ist???
09.07.2015, 18:55	Münze	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: anscheinend muss der Wink mit dem Zaunpfahl her... Ok, wenn $\begin{eqnarray} \sin(x)<1 \end{eqnarray}$ dann geht $\begin{eqnarray} \sin^n(x) \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} n\to\infty \end{eqnarray}$ gegen $\begin{eqnarray} 0 \end{eqnarray}$ . Das heißt schonmal das $\begin{eqnarray} \sin^n(x)f(x)\to 0 \end{eqnarray}$ geht also gegen eine Funktion konvergiert also in dem Fall die Nullfunktion. Das aber auch nur für den Fall $\begin{eqnarray} x\neq\frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ . Wenn $\begin{eqnarray} \sin(x)=1 \end{eqnarray}$ dann konvergiert allerdings nix gegen Null außer $\begin{eqnarray} f(x) \end{eqnarray}$ bringt diese Eigenschaft mit ... Reicht das trotzdem um zu sagen das man hier den Satz über die major. Konverg. anwenden kann?
09.07.2015, 18:59	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, die Funktionenfolge $\begin{align} \sin^n(x)f(x) \end{align}$ konvergiert an allen Stellen außer $\begin{align} x=\frac{\pi}{2} \end{align}$ für $\begin{align} n\to \infty \end{align}$ gegen Null. Und daraus erkennst du nicht, was für $\begin{align} \int\limits_0^{\pi} \lim_{n\to\infty} \sin^n(x)f(x) ~\dd x \end{align}$ herauskommt?
Anzeige

09.07.2015, 19:22	Münze	Auf diesen Beitrag antworten »
Doch klar, man erhält dann $\begin{eqnarray} \int_0^{\pi}\lim_{n\to\infty}\sin^n(x)f(x)dx=0 \end{eqnarray}$ . Das war es etwa schon? Kommt mir irgendwie zu einfach vor...
10.07.2015, 14:55	Münze	Auf diesen Beitrag antworten »
Kann noch jemand drüber schauen?

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »