Rotationssymmetrische Funktion - Integration

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09.07.2015, 19:54	Münze	Auf diesen Beitrag antworten »
Rotationssymmetrische Funktion - Integration Hallo, eine weitere Aufgabe bei der ich Hilfe benötige. Berechne für $\begin{eqnarray} n=2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} n=3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_{K_1(0)}\frac{2}{\|\|x\|\|_2^2+1}d^nx \end{eqnarray}$ Es handelt sich dann für $\begin{eqnarray} n=2 \end{eqnarray}$ um das Integral: $\begin{eqnarray} \int_{K_1(0)}\frac{2}{\|\|x\|\|_2^2+1}d^2x \end{eqnarray}$ also eine Integraion im $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ Ich bin ehrlich gesagt noch ziemlich verwirrt durch die ganzen Begriffe die hier vorkommen. $\begin{eqnarray} K_1(0) \end{eqnarray}$ steht denke mal für die Kugel mit Radius 1 und die Null für den Ursprung? $\begin{eqnarray} \|\|x\|\|_2^2 \end{eqnarray}$ damit ist die euklidische Norm gemeint? ist dann $\begin{eqnarray} \|\|x\|\|_2^2=x^2+y^2 \end{eqnarray}$ oder was genau? Kann mir jemand helfen?
10.07.2015, 10:46	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \\|\cdot\\|_2 \end{eqnarray}$ bezeichnet sicherlich die Euklidische Norm und $\begin{eqnarray} K_r(x) \end{eqnarray}$ die Kugel mit Radius $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ und Mittelpunkt $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ . Wenn du schon sagst, dass die Funktion rotationssymmetrisch ist, dann bietet sich doch eine Transformation in Polar- (für n=2) bzw. Kugelkoordinaten (für n=3) an. Du kannst auch die Integrale mithilfe folgender Formel berechnen, die für beliebige $\begin{eqnarray} n \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} R>0 \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} \int_{K_R(0)} \! f(x) \, d^n x=\int_0^R \int_{\partial K_r(0)} \! f(x) \, dS(x)\, dr \end{eqnarray}$ (dabei ist das innere Integral auf der rechten Seite ein Oberflächenintegral). Im Fall $\begin{eqnarray} n=2 \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} n=3 \end{eqnarray}$ ist das aber fast nichts anderes als mit den Polar- bzw. Kugelkoordinaten.
10.07.2015, 11:04	Münze	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo 10001000Nick1,wenn ich nun die Wahl habe wie ich das Integral berechne wie würde das zu berechnende Integral denn in Polar bzw. Zylinderkoordinaten aussehen? Ich muss doch $\begin{eqnarray} \|\|x\|\|_2^2 \end{eqnarray}$ irgendwie umschreiben um einen Ausdruck entweder mit $\begin{eqnarray} x,y \end{eqnarray}$ oder $\begin{eqnarray} r,\phi \end{eqnarray}$ im Integranden zu haben... Das ist momentan das größte Problem. Kannst du mir das erklären? Die Berechnung sollte dann ja nicht mehr so schwer sein ...
10.07.2015, 13:50	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Von Zylinderkoordinaten habe ich nichts gesagt, mit denen würdest du hier auch nicht weiterkommen. Das $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ in den Polar- bzw. Kugelkoordinaten ist einfach der Abstand des Punktes vom Ursprung: $\begin{eqnarray} \\|x\\|_2=r \end{eqnarray}$ .
10.07.2015, 14:08	Münze	Auf diesen Beitrag antworten »
Wofür steht denn bei der euklidischen Norm die 2 im Exponenten und die 2 als Indize? Das finde ich sehr verwirrend. Kannst du mir das sagen?
10.07.2015, 14:16	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Die zwei im Index bedeutet einfach, dass man die euklidische Norm meint. Es gibt auch noch andere Normen, siehe z.B. p-Normen. Die euklidische Norm ist diese p-Norm für p=2. Deswegen die 2 im Index. Die zwei im Exponenten ist ein ganz normales Quadrat: $\begin{eqnarray} \\|x\\|_2^2=x_1^2+...+x_n^2 \end{eqnarray}$ .
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10.07.2015, 14:26	Münze	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar, jetzt weiß ich was zu tun ist. Das hat mir irgendwie in meinen Verständnis gefehlt. Dann ist das ja garnicht so schwer. $\begin{eqnarray} \int\int\frac{1}{x^2+y^2+1}dxdy \end{eqnarray}$ da es in Polarkoordinaten einfacher geht erhält man dann... $\begin{eqnarray} \int_0^{2\pi}\int_0^1\frac{1}{r^2+1}rdrd\phi \end{eqnarray}$ Hier erhalte ich $\begin{eqnarray} =\ln(2)\pi \end{eqnarray}$ Für das zweite Integral gilt dann $\begin{eqnarray} \int_0^{2\pi}\int_0^{\pi}\int_0^1\frac{1}{r^2+1}r^2\sin\theta dr\theta d\phi \end{eqnarray}$ Das müsste jetzt stimmen. Vielen Dank für deine sehr gute Hilfe. Jetzt ist mir das alles klar geworden...
10.07.2015, 14:55	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Hab jetzt nicht genau geschaut, wie weit die da waren, aber die Frage war vor drei Wochen schon mal hier im Board: Integral
10.07.2015, 15:27	Münze	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch eine Frage, wie knackt man denn am besten das Integral $\begin{eqnarray} \int_0^1\frac{r^2}{r^2+1}dr \end{eqnarray}$ das scheint garnicht so einfach zu sein. Ich habe es schon mit der Substitution $\begin{eqnarray} u=r^2+1 \end{eqnarray}$ aber das hilft auch nicht wirklich ...
10.07.2015, 15:29	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac{r^2}{r^2+1}=\frac{r^2+1-1}{r^2+1}=1-\frac{1}{r^2+1} \end{eqnarray}$ Das sollte jetzt deutlich einfacher aussehen.
10.07.2015, 15:55	Münze	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, damit komme ich jetzt zurecht. $\begin{eqnarray} =r\|_0^1-\arctan(r)\|_0^1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =1-\arctan(1) \end{eqnarray}$ Jetzt ist aber wirklich alles klar. Vielen Dank für deine Hilfe wir sehen uns im anderen Thread.
10.07.2015, 15:56	10001000Nick1	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, bis gleich.

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