Ellipsengleichungen

09.07.2015, 22:07

stefanosoudias

Ellipsengleichungen

Meine Frage:
Wie bestimme ich eine Ellipse in zweiter Hauptlage durch "X"-Punkte?

Meine Ideen:
Ist es korrekt die allgemeine Form für das Erhalten einer Ellipsengleichung zweiter Hauptlage so zu formulieren?

a²x² + b²y² = a²b²

P1(x1/y1) P2(x2/y2) in die Gleichung einsetzten, wobei sich der Betrag der beiden Koordinaten der Punkte unterscheiden muss.

I: a²(x1)² + b²(y1)² = a²b²
II: a²(x2)² + b²(y2)² = a²b²

und das Gleichungssystem nach a und b lösen.

Anschließend a und b in

x²/b² + y²/a² = 1

einsetzen.

Und wenn ich den Graphen der Ellipsen nur in einem bestimmten Intervall betrachten will, würde es reichen anzugeben, dass z.B. für y gelten soll:

[-l/2, l/2] = {y??; -l/2 ? y ? l/2}

wobei "l" eine einfache Variable sein soll?
(Im Anhang befindet sich eine Grafik, die diese Betrachtung in einem Intervall darstellen soll)

09.07.2015, 22:19

stefanossoudias

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RE: Ellipsengleichungen
Die Fragezeichen wurden automatisch eingesetzt und haben im abgeschlossenen Intervall das "eR" - Element R und danach zwei Mal das "kleiner-gleich-Zeichen" ersetzt.

10.07.2015, 01:35

mYthos

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RE: Ellipsengleichungen

Zitat:

Original von stefanossoudias
Die Fragezeichen wurden automatisch eingesetzt ..
...

Das kommt vom sorglosen Anwenden von copy 'n' paste. Das solltest du unbedingt vermeiden bzw. die Kopie nachträglich editieren!
Und ich weigere mich, das Konglomerat zu entziffern, davon kriegt man Augenschmerzen.
Soviel sollte dir unsere Hilfe schon wert sein, dass du deine Anliegen ordentlich präsentierst.
Du kannst ganz leicht unseren Formeleditor verwenden.
-------------
Zur Ellipse:
Die Gleichung der Ellipse in der 2. Hauptlage ist korrekt, wobei jetzt a die Hauptachse und b die Nebenachse bedeuten.
Auch die Auflösung mittels gegebener 2 Punkte ist richtig beschrieben.

mY+

10.07.2015, 20:57

stefanossoudias

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Ellipsengleichungen
Zunächst vielen Dank für die Antwort auf meine Frage!

Ich werde nun darauf aufpassen, dass ich den Formeleditior verwende.

Um meine zweite Frage zu konkretisieren: Kann in den Wertebereich

W $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ = [y1 ; y2]

dazu verwenden, den Graphen der Funktionsgleichung nur in einem bestimmten Intervall zu betrachten?

10.07.2015, 21:42

mYthos

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Prinzipiell ja. Die y-Grenzen kannst du ja in die entsprechenden x-Grenzen umrechnen und so gelangst du zu dem eingeschränkten Definitionsbereich.
Du musst allerdings darauf achten, dass die implizite Ellipsengleichung so umgeformt, dass eine Funktion vorliegt.
In unserem Fall können wir die obere ODER die untere Halbellipse betrachten:
Die Gleichung der oberen Halbellipse z. B. lautet dann

$\begin{eqnarray*} f_1(x) = y = + \frac a b \sqrt{b^2 - x^2} \end{eqnarray*}$

Wenn nun dort ein bestimmter y-Wert eingesetzt wird, ergeben sich zwei symmetrisch zum Nullpunkt (Mittelpunkt) liegende x-Werte, wobei man sich auf jenen im ersten Quadranten beschränken kann.
In diesem Fall hat man als eine eineindeutige (umkehrbar eindeutige) Funktion jene der Viertelellipse im ersten Quadranten ( $\begin{eqnarray*} x \geq 0, \ y \geq 0 \end{eqnarray*}$ ).

mY+

10.07.2015, 22:38

stefanossoudias

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Ellipsengleichungen
Mir ist klar, dass man

a²x² + b²y² = a²b²

bzw.

x²/b² + y²/a² = 1

so umformen muss, dass man eine Funktion erhält. Zumindest würde ich dies so interpretieren, aber bitte korrigieren sie mich, wenn ich falsch liege.

Leider sehe ich noch nicht, warum man lediglich die Hälfte/eine Halbellipse betrachten kann. Für einen Hinweis bei diesem Zwischenschritt wäre ich dankbar.

Man kann allerdings auch beide Quadranten betrachten, wenn es nötig ist ( $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ 0) ?

11.07.2015, 00:15

mYthos

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Wenn du von Wertebereich (-> Wertemenge) sprichst, gibt es auch einen Definitionsbereich und dies alles setzt die Existenz von Funktionen voraus.
Die implizite Ellipsengleichung ist keine Funktion, daher wird diese in zwei Funktionsgleichungen zerlegt, dies sind die beiden bereits erwähnten Ellipsenhälften.
Mit denen kannst du natürlich rechnen, sie sind Funktionen und erstrecken sich über zwei Quadranten (1. und 2. bei $\begin{eqnarray*} y \geq 0 \end{eqnarray*}$ ), wie du bereits bemerkt hast.
Diese Funktionen sind aber nicht umkehrbar, weil einem y-Wert zwei x-Werte zugeordnet sind, daher der Vorschlag zur Viertelellipse.

mY+

11.07.2015, 15:24

stefanosoudias

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Ellipsengleichungen
Um das bis hier her kurz zusammenzufassen:

1. Aufstellen der Ellipsengleichungen durch Lösen des Gleichungssystems (wie zu Beginn aufgezeigt).
2. Diese Gleichungen (mit den entsprechenden Werten für $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ )

$\begin{eqnarray*} x²/b² + y²/a² = 1 \end{eqnarray*}$

nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ umstellen um die obere und untere Funktion (der Halbellipsen) zu erhalten, denn erst dann ist es math. möglich einen (eingeschränkten) Wertebereich anzugeben.

Allerdings erhalte ich nicht die von ihnen aufgezeigte(n) Funktion(en):

$\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ 1 $\begin{eqnarray*} (x) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = y = + \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \frac{a}{b} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \sqrt{b²-x²} \end{eqnarray*}$

Könnten sie mir bitte erklären, wie ich diese erhalte?

11.07.2015, 18:28

mYthos

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$\begin{eqnarray*} a^2x^2+b^2y^2=a^2b^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b^2y^2 = a^2b^2-a^2x^2 = a^2(b^2-x^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y^2 = \frac{a^2}{b^2} (b^2 - x^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

Übrigens duzen wir uns hier im Forum Augenzwinkern

mY+

14.07.2015, 01:53

stefanosoudias

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Ellipsengleichungen
Es ist mir ein wenig unangenehm dich noch weiter auszufragen, aber da das nun die Funktion für die obere Halbellipse ist, frage ich mich wo das Minus hingehört (?), ergo wie man auf die Funktion der unteren Halbellipse kommt und wie man dann lediglich die Viertelellipse betrachtet.

Mir ist klar, dass wenn man die Funktionen hat, man den eingeschränkten Wertebereich angeben kann, wobei ich mir nicht sicher bin, ob der Definitionsbereich in diesem speziellen Fall auch angegeben werden muss? Immerhin soll dieser ja nicht eingeschränkt werden und entspricht daher für eine Viertelellipse (in diesem Fall im 1. Quadranten) $\begin{eqnarray*} D \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} = [0; b] \end{eqnarray*}$

15.07.2015, 00:59

mYthos

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In meinem vorigen Beitrag musst du nun bei der letzten Zeile die Wurzel ziehen.
Schreibst du sie positiv, ist es die obere Halbellipse, im Falle negativ die untere.
Der Definitionsbereich ist dadurch bestimmt, dass der Term unter der Wurzel nicht negativ werden darf.
Daher entsteht zwangsläufig $\begin{eqnarray*} D_f = [-b; +b] \end{eqnarray*}$ , die Halbellipse kann im Allgemeinen durchaus jetzt so beibehalten werden.

Nur wenn man die Funktion umkehren will, ist zur Wahrung der Eindeutigkeit der Umkehrfunktion dann auf die Viertelellipse einzuschränken.
Man kann - infolge der Symmetrie - dabei auch die Rechnungen für die Halbellipse einfacher gestalten.

mY+

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