Kurvenintegral Komplex

10.07.2015, 11:17

Münze

Kurvenintegral Komplex

Hallo ich soll das folgende Integral berechnen:

$\begin{eqnarray*} \int_{|z-3/2|=1}\frac{e^z}{z(z^3-1)}dz \end{eqnarray*}$

Ich habe mir das erstmal aufgzeichnet und festgestellt das der Pol z=0 nicht im Gebiet liegt. Damit ist der Pol bei $\begin{eqnarray*} z^3=1 \end{eqnarray*}$ also
$\begin{eqnarray*} z_1=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_2=e^{\pi i} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_3=e^{2\pi i} \end{eqnarray*}$

Dann müsste sich $\begin{eqnarray*} z^3-1 \end{eqnarray*}$ schreiben lassen als $\begin{eqnarray*} (z-1)(z-e^{\pi i})(z-e^{2\pi i}) \end{eqnarray*}$

Stimmt das soweit?
Nun würde ich davon die Residuen berechnen und mit dem Residuensatz das Integral auswerten.

11.07.2015, 10:13

Münze

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RE: Kurvenintegral Komplex
Kann mir noch jemand helfen?

11.07.2015, 14:30

Huggy

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RE: Kurvenintegral Komplex

Zitat:

Original von Münze
Damit ist der Pol bei $\begin{eqnarray*} z^3=1 \end{eqnarray*}$

Das sind doch mehrere Polstellen.

Zitat:

also
$\begin{eqnarray*} z_1=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_2=e^{\pi i} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_3=e^{2\pi i} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{\pi i} \end{eqnarray*}$ ist keine Nullstelle von $\begin{eqnarray*} z^3-1 \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} z_3=e^{2\pi i}=1 \end{eqnarray*}$

Das ist keine neue Nullstelle. Du hast nur eine Nullstelle richtig bestimmt.

Zitat:

Nun würde ich davon die Residuen berechnen und mit dem Residuensatz das Integral auswerten.

Ja. Nur musst du voeher die Nullstellen korrekt bestimmen und dann prüfen, welche sich innerhalb der Kurve befinden.

11.07.2015, 22:15

Münze

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RE: Kurvenintegral Komplex
Hallo da habe ich aber Mist gemacht. Es muss lauten:
$\begin{eqnarray*} z_1=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_2=e^{2\pi i/3} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z_3=e^{4\pi i/3} \end{eqnarray*}$

Damit lautet dann $\begin{eqnarray*} z^3-1=(z-1)(z-e^{2\pi i/3})(z-e^{4\pi i/3}) \end{eqnarray*}$

Die 1 liegt schonmal in dem Gebiet. Bei den anderen beiden Stellen sieht man dies nicht wirklich. Deshalb dachte ich man soll es mit Euler umschreiben.

$\begin{eqnarray*} e^{2\pi i/3}=\cos(2\pi/3)+i\sin(2\pi /3)=-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} e^{4\pi i/3}=\cos(4\pi/3)+i\sin(4\pi /3)=-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2} \end{eqnarray*}$

In einer Klausur würde ich jetzt verzweifeln da wir keinen Taschenrechner benutzen dürfen.

Das heißt dann also nur der Pol $\begin{eqnarray*} z_0=1 \end{eqnarray*}$ liegt im Gebiet?

Dann lautet das zugehörige Residuum: $\begin{eqnarray*} \lim_{z\to 1}(z-1)\frac{e^z}{z(z-1)(z-e^{2\pi i/3})(z-e^{4\pi i/3})}=\frac{e^1}{(1-e^{2\pi i/3})(1-e^{4\pi i/3})} \end{eqnarray*}$

Damit gilt dann $\begin{eqnarray*} =2\pi i\sum Res f(z)=2\pi i[\frac{e^1}{(1-e^{2\pi i/3})(1-e^{4\pi i/3})}] \end{eqnarray*}$

Das ist die Lösung?

12.07.2015, 08:36

Huggy

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RE: Kurvenintegral Komplex

Zitat:

Original von Münze
Das heißt dann also nur der Pol $\begin{eqnarray*} z_0=1 \end{eqnarray*}$ liegt im Gebiet?

Ja.
Man sieht das auch ohne Taschenrechner und Umrechnung mit der Eulerformel, wenn man sich der geometrischen Bedeutung der Darstellung einer komplexen Zahl in der Exponentialform bewusst ist. Die Zahl

$\begin{eqnarray*} z=re^{ix} \end{eqnarray*}$

mit reellem r und x liegt auf einem Kreis mit Radius r um den Ursprung und sie hat den Winkel x im Bogenmaß relativ zur positiven x-Achse entgegen dem Uhrzeigersinn. Also liegen $\begin{eqnarray*} z_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z_3 \end{eqnarray*}$ auf dem Einheitkreis um den Ursprung mit den Winkeln

$\begin{eqnarray*} \frac {2\pi}{3} \mathrel{\hat =} 120° \ \text{und} \ \frac {4\pi}{3} \mathrel{\hat =} 240° \end{eqnarray*}$

Sie liegen also nicht innerhalb des Kreises, über den zu integrieren ist. Das Residuum bei $\begin{eqnarray*} z=1 \end{eqnarray*}$ ist richtig, lässt sich aber vereinfachen. Am einfachsten bekommt man es über die Partialbruchzerlegung

$\begin{eqnarray*} \frac {1}{z(z^3-1)}=-\frac {1}{z}+\frac{1}{3(z-1)}+\frac {1+2z}{1+z+z^2} \end{eqnarray*}$

Das Residuum ist also $\begin{eqnarray*} e/3 \end{eqnarray*}$ . Da $\begin{eqnarray*} z_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} z_3 \end{eqnarray*}$ außerhalb des Integrationskreises liegen, ist es nicht notwendig $\begin{eqnarray*} 1+z+z^2 \end{eqnarray*}$ zu faktorisieren.

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