Laurentreihe

10.07.2015, 11:27

Münze

Laurentreihe

Hallo, ich habe noch eine weitere Aufgabe.
Entwickeln Sie die Funktion $\begin{eqnarray*} f:\mathbb C\{1,2\}\to\mathbb C \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(z)=\frac{1}{z(z-1)(z-2)} \end{eqnarray*}$ in den folgenden Ringgebieten in eine konvergente Laurentreihe

a) $\begin{eqnarray*} \{z\in\mathbb C|0<|z|<1\} \end{eqnarray*}$
b) $\begin{eqnarray*} \{z\in\mathbb C|1<|z|<2\} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen sind erstmal das ich f(z) mit einer Partialbruchzerlegung aufspalte und anschließend versuche mit der geometrischen Reihe zu arbeiten.
Ich erhalte mit der Partialbruchzerlegung nun folgendes:
$\begin{eqnarray*} f(z)=\frac{1}{z(z-1)(z-2)}=\frac{1}{2z}-\frac{1}{z-1}+\frac{1}{2(z-2)} \end{eqnarray*}$

Für den Ausdruck $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2z} \end{eqnarray*}$ weiß ich ehrlich gesagt nicht wie man dazu die geometrische Reihe aufstellt. für die anderen beiden Ausdrücke habe ich es hinbekommen.
Hat jemand eine Idee?

10.07.2015, 13:53

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Tipp: $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2z}=\frac{1}{2}z^{-1} \end{eqnarray*}$

10.07.2015, 14:06

Münze

Auf diesen Beitrag antworten »

SO ganz bringt mich das ehrlich gesagt noch nciht weiter. Die Form der geometrischen Reihe ist doch $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-q}=\sum q^k \end{eqnarray*}$

Für die anderen beiden Ausdrücke erhalte ich dabei:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-z}=\sum z^k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{4}\frac{1}{1-z/2}=-\frac{1}{4}\sum(\frac{z}{2})^k \end{eqnarray*}$

Ziel ist es jetzt noch den ersten Ausdruck in diese Form zu bringen so das ich die drei einzelnen Reihen zu einer zusammenschreiben kann oder?

10.07.2015, 14:41

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Und wo ist das Problem?
$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty z^k-\frac{1}{4}\sum_{k=0}^\infty (\frac{z}{2})^k+\frac{1}{2}z^{-1}=\frac{1}{2}z^{-1}+\sum_{k=0}^\infty \left(z^k-\frac{1}{4}\cdot (\frac{z}{2})^k\right)=\frac{1}{2}z^{-1}+\sum_{k=0}^\infty (1-\frac{1}{4\cdot 2^k}) z^k \end{eqnarray*}$

10.07.2015, 15:17

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Münze
Für die anderen beiden Ausdrücke erhalte ich dabei:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-z}=\sum z^k \end{eqnarray*}$

Da das für $\begin{eqnarray*} |z|<1 \end{eqnarray*}$ konvergiert, für $\begin{eqnarray*} |z|>1 \end{eqnarray*}$ aber nicht, ist das zwar für a) passend, für b) aber nicht.

10.07.2015, 15:22

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Huch, ich dachte, ich hätte schon erwähnt, dass das nur für a) funktioniert. Habe ich wohl vergessen...
Danke dir! Wink

10.07.2015, 15:39

Münze

Auf diesen Beitrag antworten »

Achso ich wusste nicht das man die $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2z} \end{eqnarray*}$ einfach mitschleppt. Ich dachte man müsse das auch als eine Reihe schreiben.
Dann komme ich auch auf dein Ergebnis mit $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty z^k-\frac{1}{4}\sum_{k=0}^\infty (\frac{z}{2})^k+\frac{1}{2}z^{-1}=\frac{1}{2}z^{-1}+\sum_{k=0}^\infty \left(z^k-\frac{1}{4}\cdot (\frac{z}{2})^k\right)=\frac{1}{2}z^{-1}+\sum_{k=0}^\infty (1-\frac{1}{4\cdot 2^k}) z^k \end{eqnarray*}$

Das gilt jetzt für $\begin{eqnarray*} |\frac{z}{2}|<1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |z|<1 \end{eqnarray*}$ wenn ich doch $\begin{eqnarray*} |\frac{z}{2}|<1 \end{eqnarray*}$ Das erfüllt nun Aufgabenteil a)?

Für Aufgabenteil b) muss ich die Reihen anders bestimmen.

Da erhalte ich für die Reihen...
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{z-1}=\frac{1}{z}\sum_{k=0}^{\infty}(\frac{1}{z})^k \end{eqnarray*}$

Für die zweite Reihe

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2z}\sum_{k=0}^{\infty}(\frac{2}{z})^k \end{eqnarray*}$

Schlussendlich dann...

$\begin{eqnarray*} =\frac{1}{2z}+\frac{1}{z}\sum_{k=0}^{\infty}(\frac{1}{z})^k+\frac{1}{2z}\sum_{k=0}^{\infty}(\frac{2}{z})^k \end{eqnarray*}$

Vielen dank für deine Hilfe Freude

10.07.2015, 15:45

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Münze
Achso ich wusste nicht das man die $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2z} \end{eqnarray*}$ einfach mitschleppt. Ich dachte man müsse das auch als eine Reihe schreiben.

Habe ich doch gemacht. Bloß dass in der Reihe alle Glieder bis auf eines Null sind. Big Laugh

Eine Laurentreihe mit Entwicklungsstelle 0 hat die Form $\begin{eqnarray*} \sum_{k=-\infty}^\infty c_k z^k \end{eqnarray*}$ . Der Summand für $\begin{eqnarray*} k=-1 \end{eqnarray*}$ ist schon der Term $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2z} \end{eqnarray*}$ (mit $\begin{eqnarray*} c_{-1}=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ). Deswegen brauchen wir keine weiteren Summanden mehr.

Deine Lösung zu b) stimmt nicht. Wir haben $\begin{eqnarray*} 1<|z|<2 \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} |\frac{z}{2}|<1, |\frac{2}{z}|>1. \end{eqnarray*}$
Für $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-\frac{z}{2}} \end{eqnarray*}$ musst du also die gleiche Reihe wie in a) benutzen.

Dein Ergebnis würde stimmen, wenn du die Laurentreihe in $\begin{eqnarray*} \{z\in\mathbb C||z|>2\} \end{eqnarray*}$ bestimmen sollst.

10.07.2015, 16:19

Münze

Auf diesen Beitrag antworten »

Eine Verständnisfrage zu a) Hier gilt für die Reihen $\begin{eqnarray*} |\frac{z}{2}|<1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} |z|<1 \end{eqnarray*}$ .Laut Aufgabenteil saoll $\begin{eqnarray*} 0<|z|<1 \end{eqnarray*}$ gelten. Warum ist das hier erfüllt wenn $\begin{eqnarray*} |\frac{z}{2}|<1 \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} |z|<2 \end{eqnarray*}$ gilt. Das passt doch nicht?

b) Hier kann ich die Reihe $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{4}\frac{1}{1-z/2}=-\frac{1}{4}\sum(\frac{z}{2})^k \end{eqnarray*}$ übernehmen da $\begin{eqnarray*} |\frac{z}{2}|<1 \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} |z|<2 \end{eqnarray*}$ gilt?

Für die erste Reihe muss ich dann diese nehmen? $\begin{eqnarray*} \frac{1}{z-1}=\frac{1}{z}\sum_{k=0}^{\infty}(\frac{1}{z})^k \end{eqnarray*}$

Dann kommt man auf:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2z}+-\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{\infty}(\frac{z}{2})^k+\frac{1}{z}\sum_{k=0}^{\infty}(\frac{1}{z})^k \end{eqnarray*}$

10.07.2015, 16:26

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe dein Problem nicht wirklich.
Die Reihe $\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^\infty (\frac{z}{2})^k \end{eqnarray*}$ konvergiert, falls $\begin{eqnarray*} |z|<2 \end{eqnarray*}$ ist. In a) wird $\begin{eqnarray*} |z|<1 \end{eqnarray*}$ vorausgesetzt, damit gilt natürlich auch $\begin{eqnarray*} |z|<2 \end{eqnarray*}$ . Die Reihe konvergiert also.

Der Rest stimmt.

10.07.2015, 16:34

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Münze
Für die erste Reihe muss ich dann diese nehmen? $\begin{eqnarray*} \frac{1}{z-1}=\frac{1}{z}\sum_{k=0}^{\infty}(\frac{1}{z})^k \end{eqnarray*}$

Da fehlt doch noch ein Minuszeichen.

Edit: Nein.
Ich war von $\begin{eqnarray*} \frac {1}{1-z} \end{eqnarray*}$ ausgegangen.

10.07.2015, 16:35

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

Kommando zurück!

10.07.2015, 16:38

10001000Nick1

Auf diesen Beitrag antworten »

Das stimmt schon. Hier ist aber tatsächlich ein Vorzeichen falsch:

Zitat:

Original von Münze
Dann kommt man auf:

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2z}+-\frac{1}{4}\sum_{k=0}^{\infty}(\frac{z}{2})^k+\frac{1}{z}\sum_{k=0}^{\infty}(\frac{1}{z})^k \end{eqnarray*}$

Vor der letzten Summe muss ein Minus stehen.

10.07.2015, 16:42

Münze

Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, vielen Dank. Ich werde mir das nochmal überlegen. Wink

Neue Frage »

Antworten »

Laurentreihe

Verwandte Themen