Kommutative Gruppe

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The_Lion Auf diesen Beitrag antworten »
Kommutative Gruppe
Hallo.
Eine Kommutative Gruppe ist doch eine Gruppe/Menge, in der bestimmte Rechenregeln gelten, oder wie genau ist sie definiert?

Also ist bezüglich Vektoraddition V eine Kommutative Gruppe, da das Assoziativgesetz, das Neutralitätsgesetz und das Inversitätsgesetz gelten.


2.) Wieso ist das Kommutativgesetz keine Voraussetzung für eine kommutative Gruppe ?

Danke.
Ben Sisko Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kommutative Gruppe
Hallo Lion,

die Axiome, die du aufzählst sind die allgemeinen Gruppenaxiome. Beachte, dass es auch nicht-kommutative Gruppen gibt!
Für kommutative Gruppen muss natürlich zusätzlich das Kommutativitätsgesetz gelten. Dann nennt man diese Gruppe auch abelsch (benannt nach dem Mathematiker Abel).

Gruß vom Ben

Edit: Zur Definition (für die abelsche Gruppe müssen alle Axiome gelten, für eine allgemeine Gruppe alle außer dem Komm.).
The_Lion Auf diesen Beitrag antworten »

Kann man eigentlich verschiedene Vektormengen, also z.B. V_1 mit V_2 zusammenfassen, also addieren z.B. .
Dann würden die Axiome für alle V zusammen gelten, sodass alle V eine Gruppe bilden. Ist das so ?

Danke.
SirJective Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo The_Lion,

im allgemeinen kann man das nicht. Wenn du sie aus verschiedenen Vektorräumen nimmst, dann geht das schonmal gar nicht, weil du sie nicht addieren kannst. Wenn du zwei Teilräume eines Vektorraums nimmst, dann kannst du die addieren, aber sie müssen dann keine Gruppe bilden. Denn die Summe von zwei Vektoren muss nicht in der Vereinigung der beiden Teilräume liegen. Stell dir z.B. zwei Ursprungsgeraden in der Ebene vor. Dies sind Teilräume der Ebene R^2, aber ihre Vereinigung ist keine additive Gruppe, da z.B. die Summe (1,0) + (0,1) nicht drin liegt.

Gruss,
SirJective
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