Zeigen: Echte obere Dreiecksmatrix ist Nilpotent

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Helios7 Auf diesen Beitrag antworten »
Zeigen: Echte obere Dreiecksmatrix ist Nilpotent
Meine Frage:
Eine Matrix heißt echte obere Dreiecksmatrix, falls für .
Zeigen Sie, dass eine echte obere Dreiecksmatrix A nilpotent ist, d.h. es existiert ein mit .

Meine Ideen:
Multipliziert man eine echte obere Dreiecksmatrix n-mal mit sich selbst, so gilt:
.

Als Hinweis ist folgendes gegeben:

wobei und eine Basis von ist.
Wieso geht der span bis ???

Mit dieser Überlegung folgt:
Auch hier die gleiche Frage: Wieso wird der span um einen Einheitsvektor verringern???
Helios7 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Zeigen: Echte obere Dreiecksmatrix ist Nilpotent
Auf meiner ersten Frage konnte ich mir mittlerweile helfen..
Sei
,

So kann mit erzeugt werden.

Aus dieser Überlegung folgt:



Somit wäre nur folgendes zu klären:



1. Wird als eine Matrix ( ) oder als Potenz () angesehen??? verwirrt
2. Was kann man daraus folgen? verwirrt
 
 
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RE: Zeigen: Echte obere Dreiecksmatrix ist Nilpotent
zu 1. ist eine Potenz von A
zu 2. Beachte
Helios7 Auf diesen Beitrag antworten »

Das verwirrt einem.. Kannst du mir das vllt an dem folgendem Beispiel erklären?..
Sei





Man sieht:
Mit der alternativen Schreibweise:

Fragen:
1. Ich multipliziere A^3 mit span(e1,e2,e3) und erhalte die volle Matrix A^3 dessen Bild eine echte Teilmenge vom Bild der Matrix A^2 ist. Warum steht dort echte Teilmenge von A^2 span(e1,e2)? Wie ist das zu verstehen?

2. A^2 multipliziert mit span(e1,e2) ergibt:
die ersten zwei Spalten von A^2 oder sind damit die letzten zwei Spalten gemeint?

3. Warum steht am Ende:
A^1 multipliziert mit den Einheitsvektor e1 ergibt {0}.
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Vorweg:
Die Inklusionskette gilt immer. Sie hat nichts mit Dreiecksmatrizen zu tun. Hier braucht man sie auch nicht.
Man kann sie auch schreiben als


aber das ist etwas ganz anderes als

Vielleicht stammt daher deine Verwirrung.

zu 1 und 2: Deine Aussage "Ich multipliziere A^3 mit span(e1,e2,e3) und erhalte die volle Matrix A^3 " verstehe ich nicht. Was ist die volle Matrix?
ist das Bild der Menge
unter der Abbildung .
Das sind alle Linearkombinationen der ersten und zweiten Spalte von . Probier das an deinem Beispiel aus.
zu 3: Auch das kannst du an deinem Beispiel einfach mal ausrechnen und dir dann überlegen, warum das für echte obere Dreiecksmatrizen immer gilt. Die ist hier natürlich die Menge, die nur den Nullvektor des enthält.
Helios7 Auf diesen Beitrag antworten »












Frage:
Alles schön und gut aber was habe ich jetzt davon?
bzw. wie wurde gezeigt, dass ist? verwirrt
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Das folgt schon aus .
Alternativ: Die i-te Spalte von bekommst du durch
und wegen

ist also jede Spalte von gleich Null.
Helios7 Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist so offensichtlich, dass ich es nicht gesehen hab... Finger1
Danke für die Hilfe URL! Prost
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Gern geschehen. Prost
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