"Schönes" Integral, trigonometrischer Integrand

10.07.2015, 19:57	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
"Schönes" Integral, trigonometrischer Integrand Huhu, ich hab mir für den Abschluss meiner Staatsarbeit ein besonders schönes Integral aufgespart. WolframAlpha hat mir schon den (von mir erwarteten) Wert verraten, ich würde aber gerne eine händische Lösung haben. Zu berechnen ist: $\begin{align} \int\limits_{0}^{2\pi}\! \frac{\cos^3(t)-2\sin^2(t)\cos(t)}{\cos^4(t)+\sin^2(t)}\,\mathrm{d}t \end{align}$ . Ein erster Ansatz über die Verwendung des Resiudensatzes führte auf ein komplexes Integral mit $\begin{align} (z^2+1)^4-4(z^2-1)z^2 \end{align}$ im Nenner, was die Berechnung der Residuen ohne Verwendung eines CAS (fast?) unmöglich macht. Anwendung des trigonometischen Pythagoras lieferte zunächst $\begin{align} \int\limits_{0}^{2\pi}\frac{\cos^3(t)-2\cos(t)}{\cos^4(t)+\sin^2(t)}\,\mathrm{d}t \end{align}$ , was mittels Residuensatz auch nicht einfacher wird. Reelle Substitution mit $\begin{align} \tan\left(\frac{t}{2}\right)=u \end{align}$ führte auf $\begin{align} \frac{(u-1)(u+1)(u^2+1)(u^4+6u^2+1)}{u^8+14u^2+1} \end{align}$ als Integrand. Eine weitere trigonometrische Identität später hatte ich $\begin{align} \int\limits_{0}^{2\pi}\! \frac{\cos^3(t)-2\cos(t)}{\cos(4t)+7}\,\mathrm{d}t \end{align}$ und hier gehen mir nun langsam die Ideen aus. Spoiler: es kommt null raus.
10.07.2015, 20:39	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral teilen $\begin{align} \int\limits_{0}^{\pi} + \int\limits_{\pi}^{2\pi} \end{align}$ , im zweiten Integral $\begin{align} t=u+\pi \end{align}$ substituieren ... führt sofort auf Gesamtintegralwert Null. Andere Variante: Substitution $\begin{align} v=\sin(t) \end{align}$ führt auf ein Integral $\begin{align} \int\limits_0^0 \end{align}$ .
10.07.2015, 20:39	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: "Schönes" Integral, trigonometrischer Integrand Ich hab mal auf die Schnelle Folgendes gemacht: 1. Multiplikation das Ganze mit $\begin{eqnarray} \frac{1}{sin^4(x)} \end{eqnarray}$ 2. Substitution : $\begin{eqnarray} z= \frac{1}{sin(x)} \end{eqnarray}$ danach weiter mit quadr. Ergänzung /PBZ nach Einsetzen der Grenzen kommt wirklich 0 raus. Viel Spaß
10.07.2015, 21:02	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: "Schönes" Integral, trigonometrischer Integrand Und noch eine Möglichkeit: Die beiden Integrale $\begin{eqnarray} \int_0^{\pi} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \int_{\pi}^{2\pi} \end{eqnarray}$ sind aufgrund der Punktsymmetrie des Integranden jeweils 0
11.07.2015, 09:53	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Vorschläge, ich guck mal welchen ich bzw. ob ich alle einbringe.

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