DGL lösen

10.07.2015, 21:20	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
DGL lösen Hallo Ich habe eine Frage zu einer Differentialgleichung: $\begin{eqnarray} \frac{y}{x^2+y^2} -1-\frac{x}{x^2+y^2}y'=0 \end{eqnarray}$ Ich habe die Gleichung wie folgt gelöst: $\begin{eqnarray} \frac{y}{x^2+y^2} -1-\frac{x}{x^2+y^2}y'=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{y}{x^2+y^2} -1-\frac{x}{x^2+y^2}\frac{dy}{dx}=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \underbrace{(\frac{y}{x^2+y^2} -1)}_Pdx+\underbrace{(\frac{-x}{x^2+y^2})}_Qdy=0 \end{eqnarray}$ Nun benötige ich also eine Stammfunktion $\begin{eqnarray} F(x,y) \end{eqnarray}$ , sodass: $\begin{eqnarray} \frac{\partial F}{\partial x}=P \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \frac{\partial F}{\partial y}=Q \end{eqnarray}$ Diese lautet: $\begin{eqnarray} F(x,y)=\arctan(\frac{x}{y})-x \end{eqnarray}$ Also setze ich: $\begin{eqnarray} \arctan(\frac{x}{y})-x=c \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \arctan(\frac{x}{y})=c+x \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{x}{y}=\tan(c+x) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y(x)=\frac{x}{\tan(c+x)} \end{eqnarray}$ Wolframalpha bietet mir jedoch diese Lösung: $\begin{eqnarray} y(x)=-x\tan(c+x) \end{eqnarray}$ Wo kommt der Unterschied her? Habe ich irgendwo einen Fehler?
10.07.2015, 23:56	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: DGL lösen Ich habe auch Dein Ergebnis erhalten.
11.07.2015, 11:57	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok - das freut mich denn erstmal, wenn ich richtig gerechnet habe. Aber wie darf ich das nun verstehen? Ich gehe mal nicht davon aus, dass Wolframalpha mir ein falsches Ergebnis ausgibt. Hat diese Gleichung somit 2 Lösungen? Bisher hatte ich nur immer Gleichungen gelöst, bei denen mein Ergebnis und das von Wolframalpha übereinstimmten.
11.07.2015, 13:02	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
Unsere Lösung ist auf jeden Fall richtig. Da brauchst Du nur die Probe machen.
11.07.2015, 13:05	Equester	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn ich kurz einwerfen darf: $\begin{eqnarray} \tan(x+\frac{\pi}{2}) = -\cot(x) \end{eqnarray}$ https://de.wikipedia.org/wiki/Formelsamm...nverschiebungen Das c von dir und wolfi unterscheidet sich also .
11.07.2015, 13:12	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Oje - da war ich blind und habe nicht an die Phasenverschiebung gedacht. Also liegt der Unterschied doch nur in meiner Konstanten, wie ich eigentlich schon vermutet hatte, aber nicht gesehen habe. Danke Equester! @grosserloewe Eine Frage habe ich noch: Hast du die Gleichung wie ich gelöst, oder hast du ein anderen Weg beschritten? Ich hatte es auch erst wieder über eine Substitution versucht, aber keine passende gefunden. Danke jedenfalls, dass du dir die Zeit genommen hast, die Aufgabe noch mal durchzugehen!
Anzeige

11.07.2015, 13:31	grosserloewe	Auf diesen Beitrag antworten »
Folgender Weg: 1.) P dx +Q dy=0 2.) Bestimmung einer Stammfunktion F(x.y) 3.)F(x.y)=c impl. Darstellung der allg. Lösung

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »