Unabhängigkeit der Normalverteilung und ihres Betrags

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Unabhängigkeit der Normalverteilung und ihres Betrags
Meine Frage:
Wie untersuche ich effizient, ob zwei Zufallsgrößen unabhängig sind?
Konkret hänge ich bei folgendem Fall:
Die Zufallsgröße X sei standard-normalverteilt. Sind X und |X| unabhängig?
Meine Vermutung ist nein, wie ich versuchte zu zeigen.
Bei der zweiten Aufgabe, in der gezeigt werden soll, dass |X| und sgn|X| unabhängig sind, habe ich jedoch keinen Ansatz.
Könnt ihr mir auf die Sprünge helfen?

Meine Ideen:
Ich habe angenommen, dass X und |X| unabhängig sind und versucht einen Widerspruch zu konstruieren, indem ich die Bedingung

genutzt habe.
melianarana Auf diesen Beitrag antworten »

Versuche es einfach mit der Formel, dass falls X und Y unabhängig sind. Du müsstest bei beiden Aufgaben zu dem Ergebnis kommen, dass das für X und |X| nicht stimmt.
Quant Auf diesen Beitrag antworten »

Danke. Die erste Aufgabe konnte ich mit deinem Tipp schön zeigen. Widerlegen lässt sich die Unabhängigkeit damit sehr gut. In der zweiten Aufgabe komme ich damit aber nicht weiter. Ich weiß nicht, wie ich dort die Unabhängigkeit zeigen soll.
melianarana Auf diesen Beitrag antworten »

Ja die zweite Aufgabe lässt sich noch etwas anschaulicher mit der (analog geltenden) Aussage zeigen. Du könntest zB

zeigen. Nutze die Definition der Bedingten Wahrscheinlichkeit, die Symmetrie der Satandardnormalverteilung und dass .

(Bzw auch, dass )
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