Stochastik - bedingte Wahrscheinlichkeit

11.07.2015, 08:14

Mathe_Hasser12

Auf diesen Beitrag antworten »

Stochastik - bedingte Wahrscheinlichkeit

Meine Frage:
Hallo zusammen,

ich habe folgende Aufgabe:

96 Prozent einer Produktion seien einwandfrei. Die Qualitätskontrolle sondert 2% aller einwandfreien und 95 % der defekten Produkte als defekt aus. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein von der Qualitätskontrolle akzeptiertes Produkt tatsächlich einwandfrei?

Meine Ideen:
Mein Lösungsansatz:

Erst einmal die Ereignisse:

A = { Produkt ist defekt}
A' = { Produkt ist nicht defekt}
B = { Qualitätskontrolle sondert Produkt aus}
B' = {Qualitätskontrolle sondert Produkt nicht aus}

Die Wahrscheinlichkeiten:

P(A) = 0,04
P (A') = 0,96
P (B|A' ) = 0,02
P (B|A) = 0,95

Was ist gesucht?

P (B'|A')

Folglich:

$\begin{eqnarray*} \frac{P(A'\cap B')}{P(A')} = \frac{P(A') * P(B'|A'))}{P(A')} \end{eqnarray*}$

Jetzt habe ich aber:

$\begin{eqnarray*} P(B'|A') \end{eqnarray*}$

nicht? Wie bekomme ich das denn raus? Es kann natürlich auch sein, dass mein Ansatz komplett falsch ist (was ich nicht begrüßen würde :-))

Vielen Dank für Eure Hilfe.

11.07.2015, 08:52

Mi_cha

Auf diesen Beitrag antworten »

Die Wahrscheinlichkeit stimmen.
Gesucht ist allerdings P (A'|B').

11.07.2015, 08:56

Mathe-Hasser12

Auf diesen Beitrag antworten »

Hättest du da vielleicht einen Tipp in welcher Reihenfolge das stehen muss? Ich verwechsel das jedes Mal Hammer

Hammer

11.07.2015, 09:03

Mi_cha

Auf diesen Beitrag antworten »

ein sehr unmathematischer, aber meistens zutreffender Tipp:

es wird eigentlich immer das gesucht, was nicht gegeben ist, denn sonst muss man gar nicht groß mt bedingter W-keit rechnen

ein grammatischer Tipp:

die Bedingung steht häufig im Nebensatz oder wie hier als Attribut (ein von der Qualitätskontrolle akzeptiertes)

11.07.2015, 09:09

Mathe-Hasser12

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen dank für den Tipp.

Könntest du mir bitte noch bei der Auflösung der Gleichung helfen (Habe sie dementsprechend abgeändert):

$\begin{eqnarray*} P (A'|B') = \frac{P(B'\cap A')}{P(A')} = \frac{P(B')*P(A'|B')}{P(A')} \end{eqnarray*}$

11.07.2015, 09:17

Mi_cha

Auf diesen Beitrag antworten »

bei der Formel stimmt der Nenner nicht. Dort stehe immer die W-Keit der Bedingung. Auch den Zähler im letzten Bruch solltest du folgend abändern, damit du rechnen kannst.

Es gilt also $\begin{eqnarray*} P (A'|B') = \frac{P(B'\cap A')}{P(B')} = \frac{P(A')*P(B'|A')}{P(B')} \end{eqnarray*}$

Anzeige

11.07.2015, 09:26

Mathe-Hasser12

Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal ein Dankeschön, dass du mir hier so klasse hilfst :-)

Dann habe ich:

$\begin{eqnarray*} 0,96 * \frac{P(B'|A')}{P(B')} \end{eqnarray*}$

P(B'|A') wäre dann: P(B')*P(A') ?

Wobei ich P(B') ja wieder nicht habe?

11.07.2015, 09:35

Mi_cha

Auf diesen Beitrag antworten »

Zum besseren Verständnis kannst du dir einen Baum skizzieren angefangen mit Ereignis A und A'.

$\begin{eqnarray*} P(B') \end{eqnarray*}$ musst du dir berechnen. Das ist gerade die Summe aus beiden Pfaden, die bei B' enden. Die W-keiten kannst du nun über den Baum holen, oder du verwendest, dass
$\begin{eqnarray*} P(B')=P(A) \cdot P(B'|A) + P(A') \cdot P(B'|A') \end{eqnarray*}$ .
Dabei ist hilfreich: $\begin{eqnarray*} P(B'|A)=1-P(B|A) \end{eqnarray*}$ .

Damit ist dann auch das

Zitat:

P(B'|A') wäre dann: P(B')*P(A')

wohl geklärt.

11.07.2015, 09:44

Mathe-Hasser12

Auf diesen Beitrag antworten »

Irgendwo habe ich mich verrechnet, Lösungsweg folgt gleich :-)

11.07.2015, 09:49

Mathe-Hasser12

Auf diesen Beitrag antworten »

P(B') = P(A) * P(B'|A) + P(A') * P(B'|A') mit P(B'|A) = 1 - P(B|A)

P (B') = 0,04 * 0,05 + 0,96 * (1-P(A|B) --> Mit dem komplementären Ereignis bin ich mir hier nicht sicher, habe mal den Wert von P(A|B) eingesetzt.

P(B') = 0,9428

Am Ende dann:

(0,96 * 0,05) / 0,9428 = 96,73 %

11.07.2015, 09:57

Mi_cha

Auf diesen Beitrag antworten »

die Berechnung von P(B') stimmt Freude

Freude

Aber warum steht im Zähler 0,96*0,05 ?

Es sollte 0,96*0,98 lauten

11.07.2015, 10:04

Mathe-Hasser12

Auf diesen Beitrag antworten »

Bevor ich dir jetzt einen Unsinn antworte, müsste ich noch eins klären:

Woher weißt du denn:

$\begin{eqnarray*} P (B'|A) = 1-P(B|A) \end{eqnarray*}$

Ich habe in der Formelsammlung schon etwas von komplementäres Ereignis gefunden, kann es aber nicht nachvollziehen.

Und was wäre dann das Komplementärereignis von:

$\begin{eqnarray*} P(B'|A') \end{eqnarray*}$

11.07.2015, 10:14

Mi_cha

Auf diesen Beitrag antworten »

das kann man sich schnell am Baum klarmachen, und zwar an der zweiten"Stufe" des Baumes.

In Worten: P(B'|A) ist diejenige Wahrscheinlichkeit, dass B' eintritt, wenn vorher A eingetreten ist. Da die W-Keiten an einer "Gabelung" immer 1 ergeben müssen, folgt, dass P(B|A) - also die W-keit für den Eintritt von B, wenn vorher A eingetreten ist, zusammen mit P(B'|A) Eins ergibt.
Formal: P(B'|A)+P(B|A)=1

Für P(B'|A') gilt: P(B'|A')+P(B|A')=1

11.07.2015, 10:16

Mathe-Hasser12

Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, dann habe ich:

99,79 % als Lösung :-)

11.07.2015, 10:22

Mi_cha

Auf diesen Beitrag antworten »

das stimmt.

Noch ein Tipp zur Kontrolle:
Im Nenner muss der Term aus dem Zähler auftauchen

$\begin{eqnarray*} P(A'|B')=\frac{\color{red}{0,96 \cdot 0,98}}{0,04 \cdot 0,05 + \color{red}{0,96 \cdot 0,98}} \end{eqnarray*}$

11.07.2015, 10:24

Mathe-Hasser12

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für deine Hilfe, du hast mir sehr weitergeholfen :-)

11.07.2015, 10:26

Mi_cha

Auf diesen Beitrag antworten »

Gerne

Wink

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »