Gewöhnliche Differentialgleichung

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11.07.2015, 10:08	Hermann S.	Auf diesen Beitrag antworten »
Gewöhnliche Differentialgleichung Meine Frage: Gegeben ist folgende Differentialgleichung: $\begin{eqnarray} (1+x)^{2}y''-2y=0 \end{eqnarray}$ . Als Hinweis wird gegeben: "Suchen Sie zunächst nach einer Lösung in Form eines Polynoms." Meine Ideen: Intuitiv hätte ich gesagt, dass ich ein Polynom zweiter Ordnung wähle, also $\begin{eqnarray} y=ax^{2}+bx+c \end{eqnarray}$ . Wenn ich das einfach so einsetze bekomme ich aber natürlich eine Gleichung mit drei gesuchten Parametern, die entsprechend keine eindeutige Lösung hat... Ich habe gerade absolut keine Idee, wie ich das machen soll.
11.07.2015, 13:06	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Natürlich ist die Lösung nicht eindeutig, denn Du hast es ja mit einer linearen Differentialgleichung zu tun, deren Lösungsraum einen (mindestens eindimensionaler) Vektorraum darstellt.
12.07.2015, 16:28	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Helferlein. Ich würde gerne auch mal probieren diese Gleichung zu lösen und habe grade ein wenig gelesen. Bevor ich nun munter drauf los rechne folgende Frage: Kann ich (und bietet es sich an) diese Aufgabe nun über Potenzreihen lösen?
12.07.2015, 18:43	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
@Mathema: Ich denke eher nicht, denn die allgemeine Lösung enthält eine positive und eine negative Potenz. Das könnte bei Potenzreihen schwieriger zu erkennen sein. Ich habe es mit Variation der Konstanten gelöst.
12.07.2015, 18:56	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok - danke! Dann werde ich damit auch mal mein Glück versuchen.
13.07.2015, 18:09	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, also ich habe mich noch versucht ein wenig schlau zu machen im Netz, aber ich habe zu deinem Ansatz über Variation der Konstanten leider überhaupt kein Zugang gefunden. Mein Problem ist, dass ich nicht weiß, wie ich mit dem Faktor beim y'' umgehen soll. Wäre lieb, wenn du mir später vll noch mal einen Ansatz dazu liefern könntest. Ich habe aber einen anderen Weg gefunden, bei dem ich aber auch noch ein wenig Schwierigkeiten habe. Magst du mir noch mal helfen? Also: Ich probiere es über das Reduktionsverfahren von d’Alembert. Das sagt mir ich muss erst ein $\begin{eqnarray} y_1 \end{eqnarray}$ raten. Das ist hier ja nicht schwierig. Es ist: $\begin{eqnarray} y_1(x)=(x+1)^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y''_1(x)=2 \end{eqnarray}$ Das passt also. Dann muss ich folgenden Ansatz wählen: $\begin{eqnarray} y(x)=(x+1)^2 \cdot u(x) \end{eqnarray}$ Dann ist: $\begin{eqnarray} y'=2(x+1)u+(x+1)^2u' \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} y''=2(u+(x+1)u')+2(x+1)u'+(x+1)^2u'' =2u+4(x+1)u'+(x+1)^2u'' \end{eqnarray}$ Das setze ich nun ein: $\begin{eqnarray} (x+1)^2(2u+4(x+1)u'+(x+1)^2u'')-2(x+1)^2u=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2(x+1)^2u+4(x+1)^3u'+(x+1)^4u''-2(x+1)^2u=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 4(x+1)^3u'+(x+1)^4u''=0 \end{eqnarray}$ Nun substituiere ich $\begin{eqnarray} u'=v \end{eqnarray}$ und erhalte: $\begin{eqnarray} 4(x+1)^3v+(x+1)^4v'=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 4v+(x+1)v'=0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} (x+1)\frac{dv}{dx}=-4v \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{dx}{x+1}=\frac{dv}{-4v} \end{eqnarray}$ So bis hierhin habe ich es (denke ich) verstanden. Nun geht das Integrieren los und ich weiß nicht genau, wie ich nun mit den Konstanten umgehe. Ich lasse sie nun erstmal außen vor. $\begin{eqnarray} \ln(x+1)=-\frac{1}{4}\ln(v) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x+1=v^{-\frac{1}{4}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v=(x+1)^{-4} \end{eqnarray}$ So - nun muss ich ja wieder integrieren: $\begin{eqnarray} \int \! (x+1)^{-4} \, dx=-\frac{1}{3}(x+1)^{-3}+c \end{eqnarray}$ Und somit: $\begin{eqnarray} y(x)=(x+1)^2(-\frac{1}{3}(x+1)^{-3}+c)=c(x+1)^2-\frac{1}{3}(x+1)^{-1} \end{eqnarray}$ So nun fehlt mir ja eine 2. Konstante wenn mich nicht alles täuscht?! Würde ich nun also bei meinem v noch eine Konstante mitschreiben, also so: $\begin{eqnarray} v=c_1(x+1)^{-4} \end{eqnarray}$ Und dann: $\begin{eqnarray} c_1\int \! (x+1)^{-4} \, dx=c_1(-\frac{1}{3}(x+1)^{-3}+c_2) \end{eqnarray}$ Wäre das richtig?
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13.07.2015, 23:03	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Konstante bringst Du schon beim Integrieren ins Spiel: $\begin{eqnarray} \ln\|x+1\|=C-\frac{1}{4}\ln\|v\| \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \|x+1\|=e^{C}\|v\|^{-\frac{1}{4}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v=\pm e^{-C}\|x+1\|^{-4}:=C_1(x+1)^{-4} \end{eqnarray}$
13.07.2015, 23:18	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja - so meinte ich es eigentlich auch. Also würde es denn so weitergehen: $\begin{eqnarray} c_1\int \! (x+1)^{-4} \, dx=c_1(-\frac{1}{3}(x+1)^{-3}+c_2) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} =-\frac{1}{3}c_1(x+1)^3+c_1c_2 \end{eqnarray}$ Und dann würde ich wieder neu definieren: $\begin{eqnarray} -\frac{1}{3}c_1:=c_3 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} c_1c_2:=c_4 \end{eqnarray}$ Und somit: $\begin{eqnarray} y(x)=(x+1)^2(c_3(x+1)^{-3}+c_4)=c_4(x+1)^2+\frac{c_3}{x+1} \end{eqnarray}$ Dann habe ich den Weg hoffe ich nun verstanden. Danke! Über Variation der Konstanten versuche ich mich die Tage mal weiter schlau zu machen.
13.07.2015, 23:26	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich bin mir nicht sicher, ob das reine Variation der Konstanten ist, denn eigentlich war mein Rechnweg ähnlich wie deiner. Über den Ansatz von Hermann eine Lösungsschar ermitteln, in der ich dann die Konstante variiert habe.

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