Divergenz, Laplace-Operator in Polarkoordinaten

11.07.2015, 10:50

laienstefan

Divergenz, Laplace-Operator in Polarkoordinaten

Eigentlich ist die Frage ganz einfach: Ich will den Laplace-Operator auf die Geschwindigkeit u anwenden und habe zum Glück die angehängten Formeln gegeben (phi ist hier eine allgemeine Gräße, dafür setze ich u ein). Bevor ich allerdings die mittlere Formel entdeckte, versuchte ich auf eigenem Wege dahin zu kommen: zuerst habe ich den Gradienten auf das Geschwindigkeitsfeld angewandt:

$\begin{eqnarray*} grad (u) = \begin{pmatrix} \frac{\delta u}{\delta r} \\ \frac{\frac{1}{r} \delta u }{\delta r} \\ \frac{\delta u}{\delta z} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wende ich hierauf die Divergenz an, erhalte ich fast die gegebene Formel für den Lapl-Operator, bis auf einen Term:

$\begin{eqnarray*} div (grad (u)) = \frac{1}{r} [\frac{\delta (\frac{\delta u}{\delta r} r) }{\delta r} + \frac{\delta ( \frac{\delta u}{\delta \phi} \frac{1}{r}) }{\delta \phi} + \frac{\delta (\frac{\delta u}{\delta z} r) }{\delta z}] = \frac{\delta^2 u}{\delta r^2} + \frac{1}{r^2} \frac{\delta^2 u}{\delta \phi^2} + \frac{\delta^2 u}{\delta z^2} \end{eqnarray*}$

Wenn ich hier nicht selbvst den Überblick verloren habe, fehlt der Term $\begin{eqnarray*} \frac{1}{r} \frac{\delta u}{\delta r} \end{eqnarray*}$

Wo kommt der her? Bzw. wo habe ich oben falsch gerechnet?

13.07.2015, 10:30

Ehos

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Deine Aufgabe ist nicht konkret gestellt. Du musst uns sagen, in welche Koordinaten du den Laplaceoperator $\begin{eqnarray*} \tfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\tfrac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\tfrac{\partial^2 u}{\partial z^2} \end{eqnarray*}$ umwandeln willst! Etwa in Polarkoordinaten oder in Zylinderkoordinaten? Diese Umrechnungen sind nicht schwer, aber etwas rechenaufwendig.

Es ist übrigens egal, welche physikalische Größe die Variable u ist (Geschwindigkeit, Temperatur...).

13.07.2015, 11:11

laienstefan

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Doppelpost, tut mir leid.

13.07.2015, 11:13

laienstefan

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Zitat:

Original von Ehos
Deine Aufgabe ist nicht konkret gestellt. Du musst uns sagen, in welche Koordinaten du den Laplaceoperator $\begin{eqnarray*} \tfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}+\tfrac{\partial^2 u}{\partial y^2}+\tfrac{\partial^2 u}{\partial z^2} \end{eqnarray*}$ umwandeln willst! Etwa in Polarkoordinaten oder in Zylinderkoordinaten?

Zuallererst muss ich mich entschuldigen, da ich ganz offensi chtlich die Formel, auf die ich mich in der Fragestellung beziehe, gar nicht gepostet habe. Also von vorne: Zugegebenermaßen hatte ich beides für dasselbe gehalten. Evtl. gibt es bei Polaarkoordinaten die z-Komponente nicht, aber das macht die Sache ja kaum komplizierter.
Wie ich es verstanden habe, ist der Laplace-Operator einfach eine Rechenoperation, der - vereinfacht gesagt - die die zweiten Ableitungen eines Skalars nach den Koordinaten (in kartesischen Koordinaten x, y, z - in Polar- bzw. Zylinderkoordinaten r, phi, z) aufsummiert.
Ich will als nichts irgendwie umwandeln oder transformieren, sondern einfach diese Rechenoperation "Laplace-Operator" auf das Geschwindigkeitsfeld in Zylinderkoordinaten (bzw. Polarkoordinaten, so. o.) anwenden.
Dafür kann ich direkt die Formel des Laplace-Operators in Zylinderkoordinaten abschreiben - diese Formel habe ich im Eingangspost vergessen, sie lautet:

$\begin{eqnarray*} \Delta u = \frac{\delta^2 u}{\delta r^2} + \frac{1}{r^2} \frac{\delta^2 u}{\delta \phi^2} + \frac{\delta^2 u}{\delta z^2} + \frac{1}{r} \frac{\delta u}{\delta r} \end{eqnarray*}$

und ebendiesen letzten Term erhalte ich oben nicht.

14.07.2015, 11:18

Ehos

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Zylinderkoordinaten lauten

$\begin{eqnarray*} x=R\cdot \cos(\phi) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=R\cdot \sin(\phi) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z=z \end{eqnarray*}$

Die Umkehrung lautet also

$\begin{eqnarray*} r=\sqrt{x^2+y^2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \phi=\arctan \left ( \tfrac{y}{x}\right ) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z=z \end{eqnarray*}$

Die 1.Ableitung nach x mittels Kettenregel liefert

$\begin{eqnarray*} \tfrac{\partial u}{\partial x}=\tfrac{\partial u}{\partial r}\tfrac{\partial r}{\partial x}+\tfrac{\partial u}{\partial \phi}\tfrac{\partial \phi}{\partial x} \end{eqnarray*}$

Darin ist offenbar

$\begin{eqnarray*} \tfrac{\partial r}{\partial x}=\tfrac{\partial }{\partial x}\sqrt{x^2+y^2}=\tfrac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}=\tfrac{r\cdot \cos(\phi)}{r}=\cos(\phi) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \tfrac{\partial r}{\partial \phi}=\tfrac{\partial}{\partial \phi} \left [\arctan \left (\tfrac{y}{x}\right ) \right ]=-\tfrac{y}{x^2+y^2}=-\tfrac{\sin(\phi)}{r} \end{eqnarray*}$

Einsetzen dieser beiden Ausdrücke in die obige 1.Ableitung liefert

$\begin{eqnarray*} \tfrac{\partial u}{\partial x}=\tfrac{\partial u}{\partial r}\cdot \cos(\phi)-\tfrac{\partial u}{\partial \phi}\cdot \tfrac{\sin(\phi)}{r} \end{eqnarray*}$

Nun berechnet man davon die Ableitung nach x mittels Kettenregel (also insgesamt die 2.Ableitung nach x)

$\begin{eqnarray*} \tfrac{\partial^2 u}{\partial x^2}=\tfrac{\partial}{\partial r}\left ( \tfrac{\partial u}{\partial r}\cdot \cos(\phi)-\tfrac{\partial u}{\partial \phi}\cdot \tfrac{\sin(\phi)}{r} \right )\tfrac{\partial r}{\partial x}+\tfrac{\partial}{\partial \phi}\left ( \tfrac{\partial u}{\partial r}\cdot \cos(\phi)-\tfrac{\partial u}{\partial \phi}\cdot \tfrac{\sin(\phi)}{r} \right )\tfrac{\partial \phi}{\partial x} \end{eqnarray*}$

Differenziere die beiden Klammern aus und setze für die Terme $\begin{eqnarray*} \tfrac{\partial r}{\partial x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \tfrac{\partial \phi}{\partial x} \end{eqnarray*}$ , welche außerhalb der Klammern stehen, die oben berechneten Ausdrücke ein. Danach alles zusammenfassen. Eine analoge Rechnung muss man für die 2.Ableitung nach y durchführen...

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