Zahlentheorie GGT(Potenz von x)

11.07.2015, 15:19

dado13

Zahlentheorie GGT(Potenz von x)

Hallo zusammen.

Man soll zeigen, dass für eine Primzahl p und n,m in N gilt:

ggT(x^{p}^{m} - x, x^{p}^{n} - x) = x^{p}^{ggT(m,n)} - x in F_{p} [x]

Ich weiß, dass

ggT(p^{m}-1,p^{n}-1) = p^{ggT(n,m)} - 1 in Z[x] gilt.

Ich müsste also zeigen, dass dies auch in F_{p} [x] gilt und dann noch das x reinziehen. Bei diesen beiden Punkten komme ich aber nicht wirklich weiter.

Vielen Dank für die Hilfe

11.07.2015, 16:08

Captain Kirk

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Hallo,

sollst du folgendes zeigen
$\begin{eqnarray*} ggT(x^{p^m} - x, x^{p^n} - x) = (x^p)^{ggT(m,n)} - x \in \mathbb F_p [x] \end{eqnarray*}$ ?

Zitat:

Ich weiß, dass

$\begin{eqnarray*} ggT(p^{m}-1,p^{n}-1) = p^{ggT(n,m)} - 1 \in \mathbb Z [x] \end{eqnarray*}$ gilt.

hast du dich da irgendwo vertippt, denn entweder ist das in den ganzen Zahlen gemeint oder es fehlen x.
Deinen Ansatz versteh ich leider nicht.
Ich würde hier die allgemeinere Aussage:
$\begin{eqnarray*} ggT(x^m-1,x^n-1)=x^{ggT(m,n)}-1 \end{eqnarray*}$ über beliebigen Körpern zeigen. (Aus der folgt die zu zeigende direkt(!))
Das geht z.B. direkt über Eigenschaften des ggT (evtl. mit Induktion).

14.07.2015, 17:03

dado13

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Erstmal vielen Dank.

Du hast natürlich Recht. In meinem Ansatz sollte x anstatt p stehen und somit das selbe wie in deinem allgemeinem. Die Induktion über einem beliebigen Körper bekomme ich hin. Da \mathbb F_p [x][/latex]
Körper ist, weiß ich, dass dies auch hier gilt. Bleibt z.z.

$\begin{eqnarray*} ggT(x^{p^m} - x, x^{p^n} - x) = (x^p)^{ggT(m,n)} - x \in \mathbb F_p [x] \end{eqnarray*}$ ?

Das direkt sehe ich gerade nicht. Ich glaube, dass ich da ein Brett vorm Kopf habe.

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