p-adische Zahlen Beispiel

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11.07.2015, 16:12	Paul_St	Auf diesen Beitrag antworten »
p-adische Zahlen Beispiel Meine Frage: Hi, Ich brauche für meine Vorwissenschaftliche Arbeit ein gutes und einfaches Beispiel das die ganzen p-adischen Zahlen verwendet. Meine Ideen: Meine Idee war eine Gleichung ax^2+bx+c (zumindest eine quadratische Form) in Z_p zu lösen. Wenn Jemand eine gute Idee hätte würde mir das echt extrem viel helfen! Danke im Voraus
12.07.2015, 11:17	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Gute Beispiele findet man z.B. in "A Course in p-adic Analysis" von Alain M. Robert 1.6 "Hensel's Philosophy" 1.6.5 "First Application: Invertible Elements in $\begin{eqnarray} \mathbb Z_p \end{eqnarray}$ " , 1.6.6 "Second Application: Square roots in $\begin{eqnarray} \mathbb Q_p \end{eqnarray}$ ", 1.6.7 "Third Application: nth Roots of unity in $\begin{eqnarray} \mathbb Z_p \end{eqnarray}$ ". Das ganze Kapitel 1.6 benötigt nach grundlegenden Definitionen in 1.1 bis 1.5 nur die Seiten 45 bis 54 und beruht auf dem wichtigsten Theorem der p-adischen Zahlen, nämlich dem Henselschen Lemma in 1.3.
14.07.2015, 14:23	Paul_St	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke! Hi, Erstmal Danke für die schnelle Antwort ich glaube die wird mir sehr helfen Das nächste Problem wird wohl sein das Hensel'sche Lemma zumindest grob zu verstehen.
15.07.2015, 11:22	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Henselsche Lemma hebt z.B. Zerlegungen von Polynomen aus dem Restklassenkörper k=A/m zu Zerlegungen in den Bewertungsring A ultrametrischer Körper hoch. Siehe auch hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Henselsches_Lemma Historische Anmerkung: Ohne Kurt Hensel geht "gar nichts" in der Zahlentheorie. Er hat Helmut Hasse zu dessen erfolgreicher Beschäftigung mit dem Lokal-Global-Prinzip angeregt.
15.07.2015, 12:32	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Bist Du sicher, dass du in deiner Arbeit mit $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ -adischen Zahlen $\begin{eqnarray} \mathbb Z_p\subset \mathbb Q_p \end{eqnarray}$ arbeiten möchtest ? Das ist ein sehr kompliziertes Thema. Kann es möglich sein, dass Du das Thema missverstanden hast und dass Du dich mit endlichen Körpern $\begin{eqnarray} \mathbb F_p=\mathbb Z/p\mathbb Z \end{eqnarray}$ beschäftigen möchtest ? Wie man in diesen endlichen Körpern mit Quadraten arbeitet, findest Du z.B. ansatzweise hier: http://www.staff.uni-mainz.de/pommeren/K...hart/qwprim.pdf
15.07.2015, 15:21	Paul_St	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu meiner Arbeit: Das wären ca die inhaltlichen Punkte meiner Arbeit.. 1. Die p-adischen Zahlen: 2. Kurt Hensel: kurze Biographie (weil „Erfinder“ des p-adischen Prinzips) 3. Der p-adische Abstand (hier wird sicher viel aus den Büchern zitiert weil sehr schwer) 4. Ganze p-adische Zahlen (-....-) 5. „p“ wieso Primzahlen, was sind Primzahlen (kurz und bündig) 6. Das Henselsche Lemma als Beispiel für einen Beweis (wird nur kurz genannt um nochmal auf Kurt Hensel zu sprechen zu kommen; wer hat es bewiesen und was sagt es ungefähr aus der Beweis selber wird nicht beschrieben weil viel zu umfangreich und zu schwer!) 7. Ein Gutes Beispiel X in dem Z_p vorkommt. Nur die Punkte 3. und 4. beschäftigen sollen sich mit "komplizierterer Mathematik" beschäftigen. Ich verwende dazu Bücher der Springer Reihe..
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15.07.2015, 18:51	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das klingt spannend. Bitte halte mich auf dem laufenden was Deine Arbeit angeht, das interessiert mich sehr. Aus meiner Sicht gibt es zwei mögliche Zugänge zu den p-adischen Zahlen. Der eine Zugang ist die Definition des p-Betrags auf den rationalen Zahlen $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ . Nach dem Satz von Ostrowski gibt es (bis auf Äquivalenz) genau den Absolutbetrag und zu jeder Primzahl p den p-Betrag. Die Vervollständigung (d.h. Körper der Cauchyfolgen modulo Nullfolgen) sind die reellen Zahlen $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray}$ (für den Absolutbetrag) und die p-adischen Zahlen $\begin{eqnarray} \mathbb Q_p \end{eqnarray}$ . Der p-Betrag auf $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ lässt sich eindeutig zu einem Betrag auf $\begin{eqnarray} \mathbb Q_p \end{eqnarray}$ fortsetzen (lokaler Fortsetzungssatz) und wird wieder mit p-Betrag bezeichnet. Der Ring $\begin{eqnarray} \mathbb Z_p \end{eqnarray}$ ist dann der Ring der ganzen p-adischen Zahlen, d.h. der p-adischen Zahlen $\begin{eqnarray} x\in\mathbb Q_p \end{eqnarray}$ mit p-Betrag $\begin{eqnarray} \|x\|_p\le 1 \end{eqnarray}$ . Der andere Zugang wird in dem von mir genannten Buch von A.M.Robert gewählt. Man definiert für jede Primzahl p den Ring $\begin{eqnarray} \mathbb Z_p \end{eqnarray}$ als Menge der (formalen) Potenzreihen in p und definiert darauf die Exponentenbewertung $\begin{eqnarray} ord_p \end{eqnarray}$ , woraus sich der p-Betrag in natürlicher Weise als $\begin{eqnarray} \|x\|_p=p^{-ord_p(x)} \end{eqnarray}$ ergibt. Der Körper $\begin{eqnarray} \mathbb Q_p \end{eqnarray}$ findet dann zunächst nur kurz Erwähnung als Quotientenkörper von $\begin{eqnarray} \mathbb Z_p \end{eqnarray}$ und wird als vollständiger ultrametrischer Körper charakterisiert. Das Henselsche Lemma und sein Beweis stehen dann auf einer einzigen Seite da. Der Rest des Kapitels sind die schon von mir erwähnten interessanten Beispiele. Der erste Zugang ist vermutlich der historisch richtige, allerdings halte ich ihn für schwieriger, weil er den Satz von Ostrowski über Äquivalenzklassen rationaler Beträge benötigt, weil er dann das Prinzip der Vervollständigung über Cauchyfolgen braucht und zuletzt die ganzen p-adischen Zahlen $\begin{eqnarray} \mathbb Z_p \end{eqnarray}$ auch nur theoretisch definiert. Wie willst Du darauf konkrete Beispiele begründen ? Der andere Zugang ist m.E. leichter zu verstehen, ist sehr konkret, und am Ende hast Du eine Form des Henselschen Lemmas formuliert und bewiesen, und die Beispiel folgen sofort daraus. Von den ersten 50 Seiten des Buches benötigst Du gerade einmal 20 (Kapitel 1.1 (ohne 1.1.5 und 1.1.6), 1.5 (ohne 1.5.3 und 1.5.6), 1.6 (ohne 1.6.8)), den Rest kannst Du als Hintergrundwissen ansehen. (Die weiteren 400 Seiten des Buches etablieren eine Analysis auf $\begin{eqnarray} \mathbb Q_p \end{eqnarray}$ , diese beruht wesentlich auf $\begin{eqnarray} \mathbb Z_p \end{eqnarray}$ , weil die ganzen p-adischen Zahlen in den rationalen p-adischen Zahlen dicht sind.)
16.07.2015, 00:19	Paul_St	Auf diesen Beitrag antworten »
Wow.. ich möchte nur zuerst sagen das ich nie gedacht hab das auf so einem Forum so schnell so gute Antworten kommen! Ich kann nur nochmal DANKE sagen und ich glaube, dass mir deine Erklärungen sehr helfen werden
16.07.2015, 11:36	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch ein bißchen zur Geschichte: Vor und mit Kurt Hensel (1861-1941) haben sich auch Euklid (3. Jahrhundert vor Chr.), Carl Friedrich Gauß(1777-1855), Ernst Kummer (1810-1893), Richard Dedekind (1831-1916), David Hilbert (1862-1943) und andere Mathematiker mit Zahlentheorie beschäftigt. Das Problem der multiplikativen Zerlegung von Zahlen in Primelemente ist in höheren Zahlkörpern nicht eindeutig lösbar, deshalb hat Kummer "ideale Zahlen" eingeführt, Dedekind hat daraus eine "Idealtheorie" in Ringen gemacht. Hensel gelang es, durch das Studium der Beträge auf den rationalen Zahlen $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ , ihren lokalen Erweiterungen (z.B. auf $\begin{eqnarray} \mathbb Q_p \end{eqnarray}$ ) und globalen Erweiterungen (z.B. auf algebraische Zahlkörper und Funktionenkörper) eine "Divisorentheorie" zu formulieren. Der "Hauptsatz der Idealtheorie" zeigt, dass Ideale und Divisoren (das sind Elemente der freien abelschen Gruppe über den Beträgen eines Körpers) im wesentlichen gleich sind. Da man die Beträge besser und leichter beherrscht als die Ideale, konnte die Zahlentheorie auf dieser Grundlage insbesondere durch Helmut Hasse (1898-1979) ganz erheblich weiterentwickelt werden. Wikipedia bietet eine Kurzbiografie von Kurt Hensel: https://de.wikipedia.org/wiki/Kurt_Hensel Darin wird unter dem Punkt "Literatur" auf Veröffentlichungen von Helmut Hasse hingewiesen, die ersten beiden sind verlinkt mit Digitalisierungen auf dem GDZ-Server (Göttinger Digitalisierungszentrum). Ich würde mich freuen, wenn ich Dir im Laufe Deiner Arbeit weiter helfen könnte, wäre auch gern bereit, Korrektur zu lesen, bin aber nächste Woche erst mal in Urlaub ... ganz ohne Internet (aber mit Hasse "Vorlesungen über Zahlentheorie" Springer Verlag 1950).
16.07.2015, 19:58	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht fragst Du Dich jetzt, wie Kurt Hensel auf die merkwürdige Idee kam, auf die noch niemand bis dahin gekommen war. Wieso hat er in der Übergangszeit vom 19. zum 20. Jahrhundert angefangen, sich mit formalen Potenzreihen $\begin{eqnarray} \sum_{n \ge m} a_n p^n, m\in \mathbb Z (fest), a_p\in\{0,...,p-1\}, p (feste) Primzahl \end{eqnarray}$ , zu befassen ( das sind übrigens die p-adischen Zahlen in $\begin{eqnarray} \mathbb Q_p \end{eqnarray}$ , für die ganzen p-adischen Zahlen in $\begin{eqnarray} \mathbb Z_p \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} m\ge 0 \end{eqnarray}$ ) . Der Grund liegt in der Mathematik des 19. Jahrhunderts, speziell in der Funktionentheorie, die von Augustin-Louis Cauchy (1789-1857) und Karl Weierstraß (1815-1897) entwickelt wurde. Das ist die Analysis (insbesondere Differential-und Integralrechnung) einer komplexen Variablen, die weitgehend auf Potenzreihen $\begin{eqnarray} \sum_{n\ge m}a_nz^n, m\in \mathbb Z (fest), a_n\in \mathbb C, z\in\mathbb C(variabel) \end{eqnarray}$ , aufbaut und sehr erfolgreich die reelle Analysis des 17. und 18. Jahrhunderts weitergeführt hatte. Diese Potenzreihen stellen übrigens "meromorphe Funktionen" dar, die Teilmenge der Funktionen mit $\begin{eqnarray} m\ge 0 \end{eqnarray}$ sind die "holomorphen Funktionen". Hensel hat also den Versuch unternommen, die Methoden der Funktionentheorie des 19.Jhdts. für die Zahlentheorie des 20.Jhdts. nutzbar zu machen. Wie man sieht, mit durchschlagendem Erfolg.
25.07.2015, 18:29	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, Paul_St ich bin wieder da. Wie kommst Du voran ?
27.07.2015, 15:04	Paul_St	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, Ich bin selber gerade erst aus dem Urlaub zurück und wollte jetzt etwas intensiver mit dem Arbeiten beginnen. Ich fand diesen 2. Ansatz von dem du mir erzählt hast sehr spannend und glaube auch das ich mich bei meiner Arbeit mit ihm befassen werde. Das einzige Problem ist nur, dass das Buch von A.M. Robert auf englisch ist und ich muss bei der Arbeit ausschließlich deutsche Bücher verwenden wegen Zitaten usw... D.h. Ich muss jetzt erstmal Bücher finden (leider auf deutsch) in denen Z_p, der p-adische Abstand und das Hensel Lemma in dieser Form zu finden sind. P.S. die Arbeit besteht sowieso großteils aus Zitaten deshalb sind gerade die Bücher besonders wichtig.
27.07.2015, 18:52	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Buch von Robert ist das beste und elementarste, das ich zum Thema kenne. Was hält dich davon ab, die für Deine Arbeit relevanten Teile zu übersetzen ? "Zahlentheorie. Eine Einführung in die Algebra.", Armin Leutbecher, Springer Verlag - bietet in Kapitel 9 "Die lokalen Körper über $\begin{eqnarray} \mathbb Q \end{eqnarray}$ (inklusive Henselsches Lemma (und Beweis über das Kontraktionslemma) mit zwei Beispielen) und in Kapitel 20 "Die Bewertungen der Zahlkörper" für dich wichtigen Stoff. Das ist das einzige Buch auf deutsch, das ich kenne, mit einem Schwierigkeitsgrad für Studenten ab 4. oder 5. Semester, also "relativ leicht". "Zahlen" Ebbinghaus et. al., Springer Verlag - enthält ein Kapitel 6 über p-adische Zahlen von Jürgen Neukirch, erwähnt aber das Henselsche Lemma nicht. Nicht leicht zu verstehen, sehr kurz. "Algebraische Zahlentheorie", Falko Lorenz, B.I. Wissenschaftsverlag - baut auf der "Henselschen Philosophie" die Zahlentheorie auf. Das setzt Kenntnisse der modernen Algebra voraus und ist sehr viel schwerer zu verstehen. "Local Fields", Jean-Pierre Serre, Graduate Texts in Mathematics, Springer Verlag - ist selbst für Mathematiker, die sich für gute Algebraiker halten (ich kenne einen ), eine echte Herausforderung, zudem noch auf englisch. Tipp: Frage deinen Lehrer, ob Du das von mir empfohlene Buch zur Grundlage der Arbeit machen darfst. Wenn er nein sagt, frage ihn nach geeigneter Literatur (es kann ja sein, dass er mehr weiß als ich.)

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