DGL lösen (3)

11.07.2015, 16:43

Rivago

DGL lösen (3)

$\begin{eqnarray*} 2xyy' - x^2 = y^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y' = \frac{y}{2x} + \frac{x}{2y} \end{eqnarray*}$

So, bis hier hin bin ich gekommen und wusste dann nicht mehr weiter. In der Lösung hat man jetzt substituiert $\begin{eqnarray*} u = \frac{y}{x} \end{eqnarray*}$ .. Wie soll man da nur selbst drauf kommen unglücklich

Naja.. jetzt eingesetzt $\begin{eqnarray*} u + u'x = \frac{xu}{2x} + \frac{x}{2xu} \end{eqnarray*}$

Darf man jetzt hier kürzen? $\begin{eqnarray*} u + u'x = \frac{u}{2} + \frac{1}{2u} \end{eqnarray*}$

In der Lösung macht man es nicht. Wieso nicht?

11.07.2015, 17:06

Mathema

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Zitat:

Wie soll man da nur selbst drauf kommen

Nun - jedenfalls nicht so, indem man gleich in die Lösung guckt, sondern mal verschiedene Ansätze durchprobiert. Übung macht den Meister. Und mit mehr Übung kommt die Erfahrung.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} u + u'x = \frac{u}{2} + \frac{1}{2u} \end{eqnarray*}$

Rechne mal weiter...

11.07.2015, 17:08

Rivago

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Ich bin auf $\begin{eqnarray*} \frac{2u^2 + 2u}{1 + u^2}du = \frac{1}{x}dx \end{eqnarray*}$ gekommen.. Stimmt das denn?

11.07.2015, 17:16

Bjoern1982

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Um noch auf die Fragen einzugehen (danach bin ich wieder weg) :

Zitat:

In der Lösung macht man es nicht. Wieso nicht?

Jeden einzelnen Minischritt muss eine Lösung auch nicht enthalten. Augenzwinkern

Zitat:

Wie soll man da nur selbst drauf kommen ?

Man könnte sich hier auch einfach mal die Frage stellen: Warum substituiert man überhaupt generell ?
Wenn man sich das mal wirklich klar macht, dann ist das eigentlich auch keine große Zauberei mehr.
Zudem ist es hier bei der Aufgabe ja auch irgendwie so: Mag sein, dass es bei einigen Aufgabentypen viele Möglichkeiten einer möglichen Substitution gibt, aber eigentlich ist diese Substitution hier bei dieser Aufgabe ja so ziemlich die einzige Möglichkeit, was sonst hätte man hier ersetzen können ? verwirrt

Deses Argument klingt zwar nicht sehr mathematisch, aber irgendwie ist es ja so. Augenzwinkern

Viel Erfolg beim weiteren Lösen. Wink

11.07.2015, 17:16

Mathema

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Ich komme auf:

$\begin{eqnarray*} \frac{dx}{x}=\frac{2u}{-u^2+1}du \end{eqnarray*}$

11.07.2015, 17:42

Rivago

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Hab es jetzt nochmal versucht und komm auf das gleiche..

$\begin{eqnarray*} \int \frac{2u}{-u^2 + 1} du = \int \frac{1}{x}dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} -ln|-u^2 + 1| = ln|x| + c \end{eqnarray*}$

Jetzt e

$\begin{eqnarray*} u^2 = 1 - \frac{1}{A \cdot x} \end{eqnarray*}$

Also $\begin{eqnarray*} u = \sqrt{1 - \frac{1}{A \cdot x}} \end{eqnarray*}$

Jetzt rücksubstituieren..

$\begin{eqnarray*} \frac{y}{x} = \sqrt{1 - \frac{1}{A \cdot x}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = \sqrt{1 - \frac{1}{A \cdot x}} \cdot x \end{eqnarray*}$

Stimmt das?

Die Lösung ist leider wieder anders, und zwar $\begin{eqnarray*} y = \pm \sqrt{x^2 - \frac{x}{c}} \end{eqnarray*}$

11.07.2015, 17:58

Mathema

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Zitat:

Also $\begin{eqnarray*} u = \sqrt{1 - \frac{1}{A \cdot x}} \end{eqnarray*}$

Du meinst wohl eher:

Also $\begin{eqnarray*} u = \textcolor{red}{\pm}\sqrt{1 - \frac{1}{A \cdot x}} \end{eqnarray*}$

Zitat:

$\begin{eqnarray*} y = \sqrt{1 - \frac{1}{A \cdot x}} \cdot x \end{eqnarray*}$

Zitat:

Stimmt das?

Ist das wirklich so schwer zu sehen, wenn du die Lösung schon hast?

Ziehen wir das x mal in die Wurzel ergibt sich doch:

$\begin{eqnarray*} y = \sqrt{x^2(1 - \frac{1}{c \cdot x})} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} =\sqrt{x^2-\frac{x^2}{cx}}=\sqrt{x^2-\frac{x}{c}} \end{eqnarray*}$

Wink

11.07.2015, 20:49

Rivago

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Du siehst das vllt sofort, ich leider nicht Wink

Aber gut, die Lösung ist mir nun letztendlich klar smile

Man könnte es aber schon so stehen lassen, wie ich es hatte?! Oder MUSS man das noch weiter umformen?

11.07.2015, 21:10

Mathema

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Nun ja - müssen muss man es nicht.

Es ist aber in der Mathematik durchaus üblich, dass man eine Wurzel nennerfrei macht. Mit einer Konstanten im Nenner kann man sich vll noch anfreunden (macht die Lösung ja auch), eine Variable im Nenner ist da schon nicht so schön. Augenzwinkern

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