Suche schnell konvergierende Formel für Pi...

11.07.2015, 21:34	RatloseJugend	Auf diesen Beitrag antworten »
Suche schnell konvergierende Formel für Pi... Meine Frage: Wie kann ich eine schnell konvergierende Formel für Pi finden??? Ich bin grade erst 12 Jahre alt und muss ne Formel für Pi kennen... Kann mir wer helfen? Meine Ideen: Vielleicht eine Formel irgendeines guten Mathematikers?
11.07.2015, 22:45	Dopap	Auf diesen Beitrag antworten »
hier eine Formel, die erst 1995 von Bailey-Borwein-Plouffe gefunden wurde: $\begin{eqnarray} \pi = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{16^k}\bigg ( \frac {4}{8k+1} -\frac {2}{8k+4}- \frac {1}{8k+5}- \frac {1}{8k+6} \bigg ) \end{eqnarray}$ über die Konvergenzgeschwindigkeit ist mir nichts bekannt.
12.07.2015, 00:01	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Schon deutlich länger bekannt, und auch ziemlich einfach nachweisbar (falls das für dich wichtig sein sollte) ist $\begin{align} \pi = 16\arctan\frac{1}{5} - 4\arctan\frac{1}{239} \end{align}$ , natürlich unter Einbeziehung der Arkustangens-Potenzreihe $\begin{align} \arctan(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{(-1)^k}{2k+1} x^{2k+1} \end{align}$ .
12.07.2015, 08:07	ollie3	Auf diesen Beitrag antworten »
hallo, und von mir noch eine einfache reihe, die aber nur sehr langsam konvergiert: $\begin{eqnarray} \pi=4(1- \frac{1}{3}+\frac{1}{5} - \frac{1}{7} + ...) \end{eqnarray}$ gruss ollie3
12.07.2015, 11:11	Bürgi	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Suche schnell konvergierende Formel für Pi... Guten Morgen, ich will Dir nicht zu nahe treten, aber suchst Du einen "einfachen" Wert, z.B. $\begin{eqnarray} \pi \approx \frac{22}7 \end{eqnarray}$ , oder eine Formel zur Berechnung von $\begin{eqnarray} \pi \end{eqnarray}$ ? Diese Reihe konvergiert ziemlich schnell: $\begin{eqnarray} \pi=2\sqrt{3} \left(1-\frac1{3 \cdot 3^1}+\frac1{5 \cdot 3^2}-\frac1{7 \cdot 3^3}+\frac1{9 \cdot 3^4} - ..... \right) \end{eqnarray}$ (vgl. Th. F. de Lagny, 1719)

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