Bildmenge unter stetigefunktion

12.07.2015, 02:23

Vava

Bildmenge unter stetigefunktion

Es seien f : R -> R eine stetige
Funktion und $\begin{eqnarray*} X \subset \mathbb R \end{eqnarray*}$ eine beschränkte Menge.

Zeigen sie, dass f(X) ebenfalls beschränkt ist.

Sei f(X):= M
Für eine beliebige Folge xn in X gibt es eine konvergierte Teilfolge x_nk mit $\begin{eqnarray*} x_{nk}->x_0 \end{eqnarray*}$ , da X beschränkt ist.
Weiterhin sei a_n:=f(x_n)
--> und sei a_nk die Teilfolge von a_n mit a_nk = f(x_nk)
Unter ausnutzung der Stetigkeit von f
$\begin{eqnarray*} \lim_{x_{nk}->x_0} a_{nk}= \lim_{x_{nk}->x_0} f_{nk} = f(x_0) \end{eqnarray*}$ *
Mit * haben wir gezeigt, dass für eine beliebige(also auch jede) Folge in f(X) eine konvergierte Teilfolge besitzt. f(X) ist damit folgenkompakt und insbesondere Kompakt, dadruch auch beschränkt.

12.07.2015, 02:47

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RE: Bildmenge unter stetigefunktion
Du weisst doch bloss, dass X beschraenkt ist, von kompakt steht da nix.

Tipp: Uebergang von X zu cl X. Dann kannst Du direkt und kurz mit dem Satz vom Minimum und Maximum argumentieren.

12.07.2015, 14:11

Vava

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Satz vom Minimum und Maximum lässt sich nur auf eine abgeschlossen Intervall anwenden:

Bsp:
Wenn X nach oben beschränkt ist, dann muss sie ja nicht nach unten beschränkt sein.
Wie kann man ein Abgeschlossen Intervall von X finden?

12.07.2015, 17:11

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"Beschraenkt" (ohne Zusatz) bedeutet nach oben und nach unten beschraenkt. Wenn $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ beschraenkt ist, dann ist $\begin{eqnarray*} \overline X \end{eqnarray*}$ kompakt und der Satz vom Minimum und Maximum darauf anwendbar. Alternativ kannst Du auch zu einem kompakten Intervall $\begin{eqnarray*} I\supset X \end{eqnarray*}$ uebergehen und damit argumentieren.

12.07.2015, 17:38

Vava

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ich hänge hier fest:
I := (0,1] und f(x) = 1/x

Dann ist I beschränkt,aber die die Bildmenge nicht ?

12.07.2015, 17:49

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Die Kehrwertfunktion passt nicht zur Aufgabe, da dort die Funktion auf ganz $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ definiert und stetig sein soll.

12.07.2015, 18:27

Vava

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Stimmt!

Zitat:

Original von rg
Alternativ kannst Du auch zu einem kompakten Intervall $\begin{eqnarray*} I\supset X \end{eqnarray*}$ uebergehen und damit argumentieren.

Reicht die unten aufgeführte Argumentation?

Eine gegebene beschränke Menge X , kann man (in Reellen ?) immer zu einer kompakten Menge erweitern mit $\begin{eqnarray*} I\supset X \end{eqnarray*}$ .

Nach Satz vom Minimum und Maximum nimmt f ein Maximum und Minimum im Intervall I an->
f(I) ist beschränkt.*
Mit $\begin{eqnarray*} f(I)\supset f(X) \end{eqnarray*}$ folgt f(X) ist beschränkt

12.07.2015, 18:45

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Ja, das ist die von mir angedachte Loesung. Da Du aber Zweifel an der Existenz eines zu beschraenktem X passenden kompakten Intervalls I als Obermenge von X zu haben scheinst, koenntest Du das noch begruenden.

smile

12.07.2015, 23:40

Vava

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Zitat:

Original von rg
Ja, das ist die von mir angedachte Loesung. Da Du aber Zweifel an der Existenz eines zu beschraenktem X passenden kompakten Intervalls I als Obermenge von X zu haben scheinst, koenntest Du das noch begruenden.

smile

Sei X durch a und b beschränkt
dann ist dazugehörige kompakte Intervall [a,b] (aus Vorlesung bekannt, dass es kompakt ist)

Wie beweist man, dass [a,b] kompakt ist?

13.07.2015, 00:06

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Die Bemerkung, dass man I so waehlen kann wie angegeben, reicht voellig aus. Alles andere ist ja durch die Vorlesung abgedeckt.

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