Legendre-Polynome, Basis der Polynome

Neue Frage »

StrunzMagi Auf diesen Beitrag antworten »
Legendre-Polynome, Basis der Polynome
Es sei n eine natürliche Zahl. Man beweise die folgende Aussage:
Jedes Polynom vom Grad läßt sich wie folgt als Linearkombination der Legendre-Polynome darstellen:

wobei für


Hallo,
Unsere Definition:
In vorigen Aufgaben haben wir schon gezeigt : für alle mit und : für alle .






Jede Ableitung verringert den Polynomgrad um eins
mit und
(Ich schreibe als Indizes unter die Koeffizienten, damit ich weiß von welchen Legendre-Polynom die Koeffizienten kommen.)

Wenn ich nun ein ein beliebiges Polynom habe mit
So führe ich Polynomdivision durch und kannschreiben,wobei ich mit das Polynom meine:

Wenn ich das so weiter führe komme ich auf:


Aber wie bekomme ich die allgemeine Darstellung dieser Koeffizienten?
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Legendre-Polynome, Basis der Polynome
hallo,
ich würde das über vollständige induktion beweisen und insbesondere ausnützen,
was ihr in den vorübungen schon bewiesen habt. Augenzwinkern
...denn wenn man beim induktionsschritt f(x) in dem integral geeignet zerlegt, werden viele summanden gleich 0.
gruss ollie3
StrunzMagi Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für den Hinweis bzgl. vollständiger Induktion. Der Induktionsanfang ist auch klar aber wo beginnst du bei dem Induktionsschritt?
Induktionsannahme gelte für n.
Sei f ein beliebiges Polynom mit mit
Die Induktionsannahme belegt, dass wir als solche spezielle Linearkombination von Legendre-Polynome schreiben können.


Lg,
MaGi
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,
ja, und jetzt setzt du das f(x) in dem integral ein, das von -1 bis 1 läuft und nutzt aus.
dass das produkt von 2 verschiedenen legendre-polynomen immer gleich 0 ist.
Dann bleibt nämlich in dem integral nur noch ein summand übrg. Augenzwinkern
Und der rest wird bestätigt durch dene 2. vorübung.
gruss ollie3
StrunzMagi Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
Ich verstehe dein Vorgehen nicht ganz. Die Gültigkeit der Formel für habe ich doch nur für Polynome vom Grad .
Wenn ich es trotzdem mache
Ich denke ich habe deinen Weg falsch verstanden?
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,
richtig, die formel für c_k gilt zunächst für k von 1 bis n, und nun willst du die
richtigkeit der formel für c_{k+1} beweisen, du setzt dann
c_{k+1}=(2n+3)/2* integral [...]* P_{k+1} dx, und jetzt kommt ja der trick, dass
das P_k in der summe nur von 1 bis n läuft, und beim ausmultiplizieren der klammer
mit P_{k+1} fast allles gleich 0 wird...
gruss ollie3
 
 
StrunzMagi Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ollie3
hallo,
richtig, die formel für c_k gilt zunächst für k von 1 bis n, und nun willst du die
richtigkeit der formel für c_{k+1} beweisen, du setzt dann
c_{k+1}=(2n+3)/2* integral [...]* P_{k+1} dx, und jetzt kommt ja der trick, dass
das P_k in der summe nur von 1 bis n läuft, und beim ausmultiplizieren der klammer
mit P_{k+1} fast allles gleich 0 wird...
gruss ollie3


Genau dass verstehe ich nicht, wie kannst du in die Formel einsetzten wenn du dir Richtigkeit der Formel zeigen möchtest? Das gibt doch beweistechnisch keinen Sinn? Und betrachtest du dann weiterhin für ?

sei ein beliebiges Polynom: mit mit


wobei für
ZZ.: mit
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,
du hast beim induktionsschrit was ganz wichtiges übersehen:
es muss in der letzen zeile heissen:
,
und wenn man jetzt f_{n+1} in der vorher beschriebenen weise zerlegt, also in ein
polynom n-ten grades und einem summanden mit x^{n+1} und die induktionsvoraussetzung benutzt, passiert das, was ich schon in den letzten posts
beschrieben habe, nämlich das bis auf einen summanden in dem integral gleich 0 wird.
gruss ollie3
StrunzMagi Auf diesen Beitrag antworten »

Ich verstehe ehrlich gesagt nicht warum man betrachten sollte? Von wo bis wo läuft das k?

Ich habe an einer anderen Idee weitergemacht und bin auf den Beweis gekommen:
In meinen ersten Post habe ich mittels Polynomdivision gezeigt, dass jedes Polynom mit als Linearkombination von Legendre Polynomen angeschrieben werden kann.
mit geieigneten Koeffizienten .

Sei beliebig aber fest gewählt.




Was sagst du dazu? Korrektur würde mich freuen,
LG
ollie3 Auf diesen Beitrag antworten »

hallo,
ja, das ist jetzt genau richtig Freude
Das war ja auch das, worauf ich immer hinauswollte. Augenzwinkern
gruss ollie3
StrunzMagi Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, danke und liebe Grüße.
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »