Legendre-Polynome, Basis der Polynome |
12.07.2015, 09:05 | StrunzMagi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Legendre-Polynome, Basis der Polynome Jedes Polynom vom Grad läßt sich wie folgt als Linearkombination der Legendre-Polynome darstellen: wobei für Hallo, Unsere Definition: In vorigen Aufgaben haben wir schon gezeigt : für alle mit und : für alle . Jede Ableitung verringert den Polynomgrad um eins mit und (Ich schreibe als Indizes unter die Koeffizienten, damit ich weiß von welchen Legendre-Polynom die Koeffizienten kommen.) Wenn ich nun ein ein beliebiges Polynom habe mit So führe ich Polynomdivision durch und kannschreiben,wobei ich mit das Polynom meine: Wenn ich das so weiter führe komme ich auf: Aber wie bekomme ich die allgemeine Darstellung dieser Koeffizienten? |
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12.07.2015, 10:54 | ollie3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Legendre-Polynome, Basis der Polynome hallo, ich würde das über vollständige induktion beweisen und insbesondere ausnützen, was ihr in den vorübungen schon bewiesen habt. ...denn wenn man beim induktionsschritt f(x) in dem integral geeignet zerlegt, werden viele summanden gleich 0. gruss ollie3 |
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12.07.2015, 15:55 | StrunzMagi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke für den Hinweis bzgl. vollständiger Induktion. Der Induktionsanfang ist auch klar aber wo beginnst du bei dem Induktionsschritt? Induktionsannahme gelte für n. Sei f ein beliebiges Polynom mit mit Die Induktionsannahme belegt, dass wir als solche spezielle Linearkombination von Legendre-Polynome schreiben können. Lg, MaGi |
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12.07.2015, 16:44 | ollie3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hallo, ja, und jetzt setzt du das f(x) in dem integral ein, das von -1 bis 1 läuft und nutzt aus. dass das produkt von 2 verschiedenen legendre-polynomen immer gleich 0 ist. Dann bleibt nämlich in dem integral nur noch ein summand übrg. Und der rest wird bestätigt durch dene 2. vorübung. gruss ollie3 |
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12.07.2015, 19:17 | StrunzMagi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, Ich verstehe dein Vorgehen nicht ganz. Die Gültigkeit der Formel für habe ich doch nur für Polynome vom Grad . Wenn ich es trotzdem mache Ich denke ich habe deinen Weg falsch verstanden? |
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12.07.2015, 19:44 | ollie3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hallo, richtig, die formel für c_k gilt zunächst für k von 1 bis n, und nun willst du die richtigkeit der formel für c_{k+1} beweisen, du setzt dann c_{k+1}=(2n+3)/2* integral [...]* P_{k+1} dx, und jetzt kommt ja der trick, dass das P_k in der summe nur von 1 bis n läuft, und beim ausmultiplizieren der klammer mit P_{k+1} fast allles gleich 0 wird... gruss ollie3 |
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13.07.2015, 10:02 | StrunzMagi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau dass verstehe ich nicht, wie kannst du in die Formel einsetzten wenn du dir Richtigkeit der Formel zeigen möchtest? Das gibt doch beweistechnisch keinen Sinn? Und betrachtest du dann weiterhin für ? sei ein beliebiges Polynom: mit mit wobei für ZZ.: mit |
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13.07.2015, 10:32 | ollie3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hallo, du hast beim induktionsschrit was ganz wichtiges übersehen: es muss in der letzen zeile heissen: , und wenn man jetzt f_{n+1} in der vorher beschriebenen weise zerlegt, also in ein polynom n-ten grades und einem summanden mit x^{n+1} und die induktionsvoraussetzung benutzt, passiert das, was ich schon in den letzten posts beschrieben habe, nämlich das bis auf einen summanden in dem integral gleich 0 wird. gruss ollie3 |
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13.07.2015, 11:03 | StrunzMagi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich verstehe ehrlich gesagt nicht warum man betrachten sollte? Von wo bis wo läuft das k? Ich habe an einer anderen Idee weitergemacht und bin auf den Beweis gekommen: In meinen ersten Post habe ich mittels Polynomdivision gezeigt, dass jedes Polynom mit als Linearkombination von Legendre Polynomen angeschrieben werden kann. mit geieigneten Koeffizienten . Sei beliebig aber fest gewählt. Was sagst du dazu? Korrektur würde mich freuen, LG |
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13.07.2015, 11:20 | ollie3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hallo, ja, das ist jetzt genau richtig Das war ja auch das, worauf ich immer hinauswollte. gruss ollie3 |
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14.07.2015, 10:54 | StrunzMagi | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Okay, danke und liebe Grüße. |
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