LGS mit modulo lösen

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12.07.2015, 11:11	lenchen95	Auf diesen Beitrag antworten »
LGS mit modulo lösen Meine Frage: Hallo, ich habe grade mal wieder ein Problem ein LGS im Z/5 zu lösen. (Entschuldigt schon mal, dass ich kein Latex schreibe...) Also ich habe das folgende LGS: x+3y=0 2x+3y+2z=0 4x+y+4z=0 Mein einziges Problem (erstmal), wobei ich nicht weiter komme, ist ganz einfach der erste Schritt. Meine Ideen: Ich brauche für x,y,z Lösungen. Wenn ich das LGS normal lösen würde, würde ich beginnen in der 1.Zeile -3y zu rechnen. So, kann ich das auch einfach im Z/5 machen? Weil eigentlich würde dann auf der linken Seite dann nicht -3y stehen, sondern 2y auf Grund des Z/5. Ist das richtig oder habe ich jetzt doch irgendwo einen Denkfehler?
12.07.2015, 11:24	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Gaußsche Algorithmus zur Lösung linearer Gleichungssysteme funktioniert in jedem Körper, also auch in $\begin{eqnarray} \mathbb F_5 \end{eqnarray}$ . Es ist überhaupt nicht normal, in der 1. Zeile 3y zu subtrahieren. Normal ist, die 1. Zeile 2 mal von der 2. Zeile und 4 mal von der 3. Zeile zu subtrahieren. Und so macht man das auch hier, nur eben modulo 5.
12.07.2015, 11:34	lenchen95	Auf diesen Beitrag antworten »
okay, aber wenn ich das gemacht habe komme ich auf: x+3y =0 2y+2z=0 4y+4z=0 und so habe ich ja immer noch keine lösung. ich könnte ja eigentlich noch die 2. Zeile zwei mal von der 3.Zeile abziehen, aber dann habe ich 0=0, nur das bringt mich in meiner Aufgabe eigentlich nicht weiter.... (ich soll dim ker(F_A) ausrechnen nur scheitere eben an dem LGS...)
12.07.2015, 11:38	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Anfang ist gut. Die 3. Zeile wird tatsächlich 0 0 0 0. Jetzt geht es wie üblich weiter (2. Zeile zur 1. Zeile addieren und anschließend mit 3 multiplizieren). Nun kannst Du die allgemeine Lösung ablesen.
12.07.2015, 11:59	lenchen95	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich glaube ich hab's jetzt! also wenn ich jetzt die 1.Zeile 4 mal von der 2. Zeile abziehe, komme ich in der zweiten Zeile auf x+y=0 in der 1.Zeile steht dann noch dasselbe wie zuvor: x+3y=0 Jetzt habe ich wenigstens schon mal das z weg, wenn ich nun die 2.Zeile von der 1. subtrahiere habe ich: 2y=0 also mit dem Inversen multipliziert y=0 wenn ich das nun bis zum Schluss auflöse habe ich für alle drei Unbekannte 0 raus. Müsste so korrekt sein oder?
12.07.2015, 12:14	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Das ist falsch. Es wäre besser du hältst dich an meinen Vorschlag.
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12.07.2015, 12:44	lenchen95	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh das hatte ich nicht mehr gesehen. Also wenn ich das nach deinem Vorschlag mache, bekomme ich: 3x+z=0 2y+2z=0 Nur dann stehe ich auf dem Schlauch. Da komme ich nicht weiter...
12.07.2015, 12:50	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
In Matrixschreibweise sieht das so aus (wenn Du es richtig gemacht hättest, bzw. wenn Du die 1. Zeile mit 2 und die 2. Zeile mit 3 multiplizierst): $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 & \| & 0 \\ 0 & 1 & 1 & \| & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \| & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Weißt Du, wie man daraus die allgemeine Lösung abliest ?
12.07.2015, 13:29	lenchen95	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein mit der Schreibweise komme ich nicht so gut zurecht, deshalb versuche ich das immer so wie ich begann. Wie lese ich die allgemeine Lösung denn daraus ab?
12.07.2015, 13:55	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wegen der 3. Zeile 0=0 kann man $\begin{eqnarray} z=t\in \mathbb F_5 \end{eqnarray}$ frei wählen. Dann ist $\begin{eqnarray} x+2t=0 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} x=-2t=3t \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} y+t=0 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} y=-t=4t \end{eqnarray}$ . Die Lösungsmenge ist also $\begin{eqnarray} \mathbb L=\{t\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}:t\in \mathbb F_5\} \end{eqnarray}$ . Ist klar, wie man daraus $\begin{eqnarray} Rang(A)=dim(F_A(\mathbb F_5^3)) \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} dim (ker(F_A))=dim\{a\in \mathbb F_5^3:F_A(a)=A\cdot a=0\} \end{eqnarray}$ abliest bzw. berechnet ?
12.07.2015, 15:57	lenchen95	Auf diesen Beitrag antworten »
wie ich den Rang ablese bzw berechne ist mir klar, und die dim ker (F_A) dazu muss man doch eine Unbekannte quasi in F_A einsetzen oder? Da bin ich mir sehr unsicher wie das geht
12.07.2015, 17:52	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Der Rang der Matrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ ist in der Zeilenstufenform am Ende des Gaußschen Algorithmus die Anzahl der von 0...0 verschiedenen Zeilen, hier also gleich 2. Der Rang der Matrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ ist gleich der Dimension des Bildes der zugehörigen linearen Abbildung $\begin{eqnarray} F_A:\mathbb F_5^3\to\mathbb F_5^3, a\to F_A(a)=A\cdot a \end{eqnarray}$ . Den Kern dieser linearen Abbildung haben wir berechnet, es ist gerade die Lösungsmenge $\begin{eqnarray} \mathbb L \end{eqnarray}$ des homogenen LGS $\begin{eqnarray} Ax=0 \end{eqnarray}$ . Diese Menge wird offensichtlich von dem einen Vektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ erzeugt, hat also die Dimension 1. Der Dimensionssatz : "Seien $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} W\; K \end{eqnarray}$ -Vektorräume und $\begin{eqnarray} f:V\to W \end{eqnarray}$ eine lineare Abbildung,. Dann gilt $\begin{eqnarray} dim(V)=dim(Bild(f))+dim(Kern(f)) \end{eqnarray}$ " gilt also auch hier, denn $\begin{eqnarray} 3=dim \mathbb F_5^3=dim(Bild(F_A))+dim(Kern(F_A))=Rang(A)+dim(\mathbb L)=2+1 \end{eqnarray}$ .
12.07.2015, 18:33	lenchen95	Auf diesen Beitrag antworten »
Super jetzt geht's, vielen Dank!

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