LGS mit modulo lösen

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lenchen95 Auf diesen Beitrag antworten »
LGS mit modulo lösen
Meine Frage:
Hallo,

ich habe grade mal wieder ein Problem ein LGS im Z/5 zu lösen.
(Entschuldigt schon mal, dass ich kein Latex schreibe...)

Also ich habe das folgende LGS:
x+3y=0
2x+3y+2z=0
4x+y+4z=0

Mein einziges Problem (erstmal), wobei ich nicht weiter komme, ist ganz einfach der erste Schritt.




Meine Ideen:
Ich brauche für x,y,z Lösungen. Wenn ich das LGS normal lösen würde, würde ich beginnen in der 1.Zeile -3y zu rechnen.
So, kann ich das auch einfach im Z/5 machen? Weil eigentlich würde dann auf der linken Seite dann nicht -3y stehen, sondern 2y auf Grund des Z/5. Ist das richtig oder habe ich jetzt doch irgendwo einen Denkfehler?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Der Gaußsche Algorithmus zur Lösung linearer Gleichungssysteme funktioniert in jedem Körper, also auch in . Es ist überhaupt nicht normal, in der 1. Zeile 3y zu subtrahieren. Normal ist, die 1. Zeile 2 mal von der 2. Zeile und 4 mal von der 3. Zeile zu subtrahieren. Und so macht man das auch hier, nur eben modulo 5.
 
 
lenchen95 Auf diesen Beitrag antworten »

okay, aber wenn ich das gemacht habe komme ich auf:

x+3y =0
2y+2z=0
4y+4z=0

und so habe ich ja immer noch keine lösung. ich könnte ja eigentlich noch die 2. Zeile zwei mal von der 3.Zeile abziehen, aber dann habe ich 0=0, nur das bringt mich in meiner Aufgabe eigentlich nicht weiter.... (ich soll dim ker(F_A) ausrechnen nur scheitere eben an dem LGS...)
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Der Anfang ist gut. Die 3. Zeile wird tatsächlich 0 0 0 0. Jetzt geht es wie üblich weiter (2. Zeile zur 1. Zeile addieren und anschließend mit 3 multiplizieren). Nun kannst Du die allgemeine Lösung ablesen.
lenchen95 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich glaube ich hab's jetzt!

also wenn ich jetzt die 1.Zeile 4 mal von der 2. Zeile abziehe, komme ich in der zweiten Zeile auf
x+y=0

in der 1.Zeile steht dann noch dasselbe wie zuvor:
x+3y=0

Jetzt habe ich wenigstens schon mal das z weg,
wenn ich nun die 2.Zeile von der 1. subtrahiere habe ich:
2y=0
also mit dem Inversen multipliziert y=0

wenn ich das nun bis zum Schluss auflöse habe ich für alle drei Unbekannte 0 raus.

Müsste so korrekt sein oder?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist falsch. Es wäre besser du hältst dich an meinen Vorschlag.
lenchen95 Auf diesen Beitrag antworten »

Oh das hatte ich nicht mehr gesehen.

Also wenn ich das nach deinem Vorschlag mache, bekomme ich:

3x+z=0
2y+2z=0

Nur dann stehe ich auf dem Schlauch. Da komme ich nicht weiter...
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

In Matrixschreibweise sieht das so aus (wenn Du es richtig gemacht hättest, bzw. wenn Du die 1. Zeile mit 2 und die 2. Zeile mit 3 multiplizierst):

Weißt Du, wie man daraus die allgemeine Lösung abliest ?
lenchen95 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein mit der Schreibweise komme ich nicht so gut zurecht, deshalb versuche ich das immer so wie ich begann.
Wie lese ich die allgemeine Lösung denn daraus ab?
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wegen der 3. Zeile 0=0 kann man frei wählen. Dann ist , also und , also .
Die Lösungsmenge ist also .

Ist klar, wie man daraus und abliest bzw. berechnet ?
lenchen95 Auf diesen Beitrag antworten »

wie ich den Rang ablese bzw berechne ist mir klar, und die dim ker (F_A) dazu muss man doch eine Unbekannte quasi in F_A einsetzen oder? Da bin ich mir sehr unsicher wie das geht
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Der Rang der Matrix ist in der Zeilenstufenform am Ende des Gaußschen Algorithmus die Anzahl der von 0...0 verschiedenen Zeilen, hier also gleich 2. Der Rang der Matrix ist gleich der Dimension des Bildes der zugehörigen linearen Abbildung .
Den Kern dieser linearen Abbildung haben wir berechnet, es ist gerade die Lösungsmenge des homogenen LGS . Diese Menge wird offensichtlich von dem einen Vektor erzeugt, hat also die Dimension 1.

Der Dimensionssatz : "Seien und -Vektorräume und eine lineare Abbildung,. Dann gilt "
gilt also auch hier, denn .
lenchen95 Auf diesen Beitrag antworten »

Super jetzt geht's, vielen Dank! Freude
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