Gleichung in Modulo lösen

12.07.2015, 17:40	lenchen95	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleichung in Modulo lösen Meine Frage: Hallo, ich habe Probleme eine Gleichung im Z/43 zu lösen: 9x=33 Ich habe zuvor das Inverse von 9 in Z/43 berechnet, aber habe Zweifel bekommen, dass das richtig ist. Ich habe da nämlich 9^-1 mod 43=31 raus bekommen. Dazu habe ich den Euklidischen Algorithmus benutzt mit Rückwärtseinsetzen. Evtl habe ich dort am Ende einen Fehler gemacht... Das Ende des Algorithmus ist bei mir folgendes: 1=443+129 \|-443 1-443=129 \|mod 43 1=129 mod 43 1=931 9^-1 mod 43 = 31 Also vielleicht ist da ja schon was falsch... Meine Ideen: Ansonsten habe ich zum Lösen der Gleichung erstmal kaum eine Idee, weil mit dem Inversen von 9 kann ich die Gleichung auch nicht lösen... Ich habe ausprobiert 9x=33 \|*4 zu rechnen, nur das bringt mir meine ich nicht ganz so viel... Theoretisch müsste ich ja einfach mit dem inversen von 9 multiplizieren nur das geht halt nicht...
12.07.2015, 18:09	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} 9\cdot 31-6\cdot 43=21\Rightarrow 9\cdot 31\equiv 21 (mod\;43) \end{eqnarray}$ , also ist $\begin{eqnarray} 31 \end{eqnarray}$ nicht das multiplikative Inverse zu $\begin{eqnarray} 9 \end{eqnarray}$ . Für das Inverse muss gelten $\begin{eqnarray} 9\cdot 9^{-1}\equiv 1 (mod\;43) \end{eqnarray}$ . Deine Rechnungen verstehe ich nicht. Die Gleichung 9x=33 mit dem Inversen multiplizieren und dann modulo 43 reduzieren ist eine gute Idee.
12.07.2015, 18:43	lenchen95	Auf diesen Beitrag antworten »
Okay, habe auch nochmal das mit dem Inversen durchgerechnet und habe nun was anderes... Ich beginne einfach mal am Anfang des Euklidischen Algorithmus: 43=49+7 9=17+2 7=32+1 2=21 -> Rückwärtseinsetzen: 1=7-32 = 7-3(9-17) = 7-39+37 = 47-39 = 443-169-39 - bis hierhin ist auch noch alles korrekt 1= 443-199 \| -443 1-443=-199 \| mod 43 1 mod 43 = 924 das habe ich da nun, allerdings bin ich mir bei den letzten zwei Schritten sehr unsicher, als ich glaube das ist falsch.. nur ich weiß es nicht besser bzw richtig zu machen...
12.07.2015, 19:20	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Schreibweise ist noch nicht exakt genug, daran musst Du noch arbeiten, aber das inverse Element zu 9 hast Du gefunden, denn es ist $\begin{eqnarray} 9\cdot24-5\cdot 43=1 \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} 9\cdot 24 \equiv 1(mod\;43) \end{eqnarray}$ . Deine Idee war, die Kongruenzgleichung $\begin{eqnarray} 9x\equiv 33(mod\;43) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} 9^{-1}\equiv 24(mod\;43) \end{eqnarray}$ zu multiplizieren. Hau ran.
12.07.2015, 20:53	lenchen95	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe jetzt folgendes: 9x=33 \|*24 <=> x=18 Vielen Dank für deine Hilfe! Für die Klausur sollte ich jetzt gewappnet sein
12.07.2015, 21:00	Mathema	Auf diesen Beitrag antworten »
@lenchen95: Wenn du noch mehr Aufgaben zur Übung lösen möchtest und dein multiplikativ Inverses kontrollieren möchtest, kannst du auch diesen online-Rechner verwenden. Viel Glück jedenfalls für deine Klausur. @Elvis: Alles Gute nachträglich!
Anzeige

12.07.2015, 21:04	lenchen95	Auf diesen Beitrag antworten »
@mathema Vielen Dank
12.07.2015, 21:06	URL	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier kommt man auch zum Ziel, indem man die Gleichung mit 5 multipliziert. Das liefert 45x=165 oder in Z/43 also 2x=36 und damit x=18

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »