Gaußscher Integralsatz in der Ebene

12.07.2015, 23:16

Neuling2015

Gaußscher Integralsatz in der Ebene

Meine Frage:
Folgende Aufgabe:

Berechnen Sie das Kurvenintegral
$\begin{eqnarray*} I=\left(c\right) \int_{}^{} \! (xy^{2} dx -x^{2}y dy ) \, \end{eqnarray*}$
über den in mathematisch positiver Richtung orientierten Kreis $\begin{eqnarray*} \left(c\right) : x^{2} +y^{2} =1 \end{eqnarray*}$ , indem Sie es mit Hilfe des Gaußschen Integralsatzes (der Ebene) in ein Doppelintegral umformen.

Meine Ideen:
$\begin{eqnarray*} x^{2} +y^{2} =1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=\sqrt{1-y^{2} } \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I=\left(c\right) \int_{}^{} \! (xy^{2} dx -x^{2}y dy ) \, \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! \, \int_{}^{} \! (-2xy-2xy)dxdy \, \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_{}^{} \! \, \int_{}^{} \! (-4xy)dxdy \, \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_{y=0}^{1} \! \, \int_{x=0}^{\sqrt{1-y^{2} } } \! (-4xy)dxdy \, \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \int_{y=0}^{1} \! -2y+2y^{3}dy \, \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$

Ich glaube aber das die Integrationsgrenzen falsch sind (wegen in math. pos. Richtung)...
Wie erkenne ich bei solchen Aufgaben eigentlich welche Grenzen ich genau einsetzen muss?

13.07.2015, 09:26

Ehos

Auf diesen Beitrag antworten »

Der Gaußsche Satz in der Ebene hängt eng mit dem Stockeschen Satz zusammen. Der Stokesche Satz lautet

$\begin{eqnarray*} \oint \begin{pmatrix} F_1 \\ F_2 \\ F_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} dx_1 \\ dx_2 \\ dx_3 \end{pmatrix} =\int\int \underbrace{\begin{pmatrix} \tfrac{\partial F_3}{\partial x_2}-\tfrac{\partial F_2}{\partial x_3} \\ \tfrac{\partial F_1}{\partial x_3}-\tfrac{\partial F_3}{\partial x_1} \\ \tfrac{\partial F_2}{\partial x_1}-\tfrac{\partial F_1}{\partial x_2} \end{pmatrix}}_{rot(\vec F)}\cdot \,\, \vec n\,\,dA \end{eqnarray*}$

Wenn das Vektorfeld $\begin{eqnarray*} \vec F \end{eqnarray*}$ und die Fläche A in der 12-Ebene liegen, so gilt $\begin{eqnarray*} \vec F=(F_1|F_2|0) \end{eqnarray*}$ und der Normaleneinheitsvektor der Fläche lautet $\begin{eqnarray*} \vec n=(0|0|1) \end{eqnarray*}$ . Setzt man dies in den Stokeschen Satz ein und multipliziert die Skalarprodukte in den Integranden aus, vereinfacht sich alles und man erhält

$\begin{eqnarray*} \oint F_1dx_1+F_2dx_2 =\int\int \underbrace{(\tfrac{\partial F_2}{\partial x_1}-\tfrac{\partial F_1}{\partial x_2})}_{rot(\vec F)\cdot \vec n} \,\,dA \end{eqnarray*}$

Merkwürdigerweise bezeichnet man diese Formel als "Gaußschen Satz in der Ebene". In deinem Falle ist folgendes gegeben:

$\begin{eqnarray*} F_1=x_1x_2^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F_2=-x_1^2x_2 \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} \tfrac{\partial F_2}{\partial x_1}=-2x_1x_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \tfrac{\partial F_1}{\partial x_2}=2x_1x_2 \end{eqnarray*}$

Einsetzen in das Flächenintegral ergibt das konkrete Integral

$\begin{eqnarray*} I=-4\cdot \int\int_{\text{Kreis}} x_1x_2\,\,dA \end{eqnarray*}$

Integriere dies über den Einheitskreis, indem du ebene Polarkoordinaten einführst

$\begin{eqnarray*} x_1=r\cdot \cos(\phi) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2=r\cdot \sin(\phi) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} dA=r\,drd\phi \end{eqnarray*}$

Vor dem Integrieren vereinfache den Integranden mit der Formel

$\begin{eqnarray*} \sin(\phi)\cos(\phi)=\tfrac{1}{2}\sin(2\phi) \end{eqnarray*}$

13.07.2015, 20:14

Neuling2015

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Ehos
Der Gaußsche Satz in der Ebene hängt eng mit dem Stockeschen Satz zusammen. Der Stokesche Satz lautet

$\begin{eqnarray*} \oint \begin{pmatrix} F_1 \\ F_2 \\ F_3 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} dx_1 \\ dx_2 \\ dx_3 \end{pmatrix} =\int\int \underbrace{\begin{pmatrix} \tfrac{\partial F_3}{\partial x_2}-\tfrac{\partial F_2}{\partial x_3} \\ \tfrac{\partial F_1}{\partial x_3}-\tfrac{\partial F_3}{\partial x_1} \\ \tfrac{\partial F_2}{\partial x_1}-\tfrac{\partial F_1}{\partial x_2} \end{pmatrix}}_{rot(\vec F)}\cdot \,\, \vec n\,\,dA \end{eqnarray*}$

Wenn das Vektorfeld $\begin{eqnarray*} \vec F \end{eqnarray*}$ und die Fläche A in der 12-Ebene liegen, so gilt $\begin{eqnarray*} \vec F=(F_1|F_2|0) \end{eqnarray*}$ und der Normaleneinheitsvektor der Fläche lautet $\begin{eqnarray*} \vec n=(0|0|1) \end{eqnarray*}$ . Setzt man dies in den Stokeschen Satz ein und multipliziert die Skalarprodukte in den Integranden aus, vereinfacht sich alles und man erhält

$\begin{eqnarray*} \oint F_1dx_1+F_2dx_2 =\int\int \underbrace{(\tfrac{\partial F_2}{\partial x_1}-\tfrac{\partial F_1}{\partial x_2})}_{rot(\vec F)\cdot \vec n} \,\,dA \end{eqnarray*}$

Merkwürdigerweise bezeichnet man diese Formel als "Gaußschen Satz in der Ebene". In deinem Falle ist folgendes gegeben:

$\begin{eqnarray*} F_1=x_1x_2^2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F_2=-x_1^2x_2 \end{eqnarray*}$

also

$\begin{eqnarray*} \tfrac{\partial F_2}{\partial x_1}=-2x_1x_2 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \tfrac{\partial F_1}{\partial x_2}=2x_1x_2 \end{eqnarray*}$

Einsetzen in das Flächenintegral ergibt das konkrete Integral

$\begin{eqnarray*} I=-4\cdot \int\int_{\text{Kreis}} x_1x_2\,\,dA \end{eqnarray*}$

Integriere dies über den Einheitskreis, indem du ebene Polarkoordinaten einführst

$\begin{eqnarray*} x_1=r\cdot \cos(\phi) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_2=r\cdot \sin(\phi) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} dA=r\,drd\phi \end{eqnarray*}$

Vor dem Integrieren vereinfache den Integranden mit der Formel

$\begin{eqnarray*} \sin(\phi)\cos(\phi)=\tfrac{1}{2}\sin(2\phi) \end{eqnarray*}$

Vielen Dank für den Tipp!
Leider hänge ich trotzdem noch. Habe die Rechnung mal durchgeführt:

$\begin{eqnarray*} I=-4\int_{}^{} \! \, \int_{Kreis}^{} \! \, xy dA \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=r*cos(\phi) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y=r*sin(\phi) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} dA=rdrd\phi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I=-4\int_{}^{} \! \, \int_{Kreis}^{} \! \, r^{2}*sin\phi*cos\phi*rdrd\phi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I=-4\int_{}^{} \! \, \int_{Kreis}^{} \! \, r^{3}*\frac{1}{2} sin(2\phi)drd\phi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I=-4\int_{\phi=0}^{2\pi } \! \, \int_{r=0}^{1} \! \, r^{3}*\frac{1}{2} sin(2\phi)drd\phi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I=-4\int_{\phi=0}^{2\pi } \! \, \left[r^{4}*\frac{1}{8} sin(2\phi)\right]_{0}^{1} d\phi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I=-4\int_{\phi=0}^{2\pi } \! \, \frac{1}{8} sin(2\phi) d\phi \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} I=-4\left[\frac{-1}{16} cos(2\phi)\right]_{0}^{2\pi } \end{eqnarray*}$

I=0

Irgendwas stimmt also nicht (Grenzen?)...
Wie kommst du eigentlich darauf:
$\begin{eqnarray*} dA=rdrd\phi \end{eqnarray*}$ ???

14.07.2015, 10:16

Ehos

Auf diesen Beitrag antworten »

Das $\begin{eqnarray*} \phi \end{eqnarray*}$ -Integral ergibt in der Tat den Wert Null, so dass insgesamt Null herauskommt.
--------------------------------
Du fragst, wie man bei Polarkoordinaten auf das Flächenelement $\begin{eqnarray*} dA=r\, d\phi dr \end{eqnarray*}$ kommt.

Antwort:

Bei den kartesischen Koordinaten x,y ist der Flächeninhalt eines differenziellen Flächenstückes dA einfach

$\begin{eqnarray*} dA=\text{Länge}\cdot \text{ Breite}=dx \cdot dy \end{eqnarray*}$

Bei Polarkoordnaten gilt die analoge Formel aber nicht

$\begin{eqnarray*} dA\neq \text{ Winkel}\cdot \text{Radius}= d\phi \cdot dr \end{eqnarray*}$

Da Polarkoordinaten nämlich "gekrümmte" Koordinaten sind, muss man einen "Korrekturfaktor" einführen. Dieser lautet bei Polarkoordinaten gerade r, so dass man erhält:

$\begin{eqnarray*} dA=\text{Korrekturfaktor}\cdot \text{ Winkel}\cdot \text{Radius}= r\cdot d\phi dr \end{eqnarray*}$

Der Korrekturfaktor wird auch als "Jacobi-Determinante" oder "Funktionaldeterminante" bezeichnet. Damit solltest du dich nochmal beschäftigen.

14.07.2015, 21:42

Neuling2015

Auf diesen Beitrag antworten »

Vielen Dank für die Hilfe und Erklärungen!

Neue Frage »

Antworten »

Gaußscher Integralsatz in der Ebene

Verwandte Themen