Normalenkegel bzgl Kreisfläche

13.07.2015, 19:45

GräfinZahl

Normalenkegel bzgl Kreisfläche

Meine Frage:
Hallo,
ich habe diese Frage noch in keinem anderen Forum gepostet.

Für eine Hausarbeit beschäftige ich mich mit Normalenkegeln $\begin{eqnarray*} N(x, \Omega) \end{eqnarray*}$ einer Menge $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ in einem Punkt $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , welche wie folgt definiert sind (hier im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ ) $\begin{eqnarray*} N(x, \Omega) = \{x^* \in \mathbb{R}^2 : \langle x^*, y-x \rangle \forall y \in \Omega\} \end{eqnarray*}$ .
Ich habe bereits spezielle Formulierungen gesehen, wenn $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ das Kreuzprodukt von Intervallen ist. Ich betrachte in meiner Arbeit Normalenkegel für Kreisflächen $\begin{eqnarray*} \Omega = B(x_0, r) \end{eqnarray*}$ und bin auf der Suche nach einer allgemeinen Definition von Normalenkegel für Kreisflächen, da sich solche "für alle Elemente aus..." Formulierungen immer schlecht programmieren lassen.

Meine Ideen:
Letztlich bedeutet die Definition des Normalenkegels ja, dass alle Vektoren $\begin{eqnarray*} x^* \end{eqnarray*}$ gesucht werden, die mit allen Elementen des um $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ verschobenen Kreises $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ einen Winkel von mindestens 90 Grad einschließen.
Aus der Schule ist mir die Definition einer Normale an einen Kreis mit Mittelpunkt $\begin{eqnarray*} m = (m_1, m_2)^\top \end{eqnarray*}$ in einem Punkt $\begin{eqnarray*} x = (x_1, x_2)^\top \end{eqnarray*}$ bekannt
$\begin{eqnarray*} x_2^* - x_2 = \frac{x_2-m_2}{x_1 - m_1} \cdot (x_1^* - x_1) \end{eqnarray*}$
Sind die Normalenvektoren aus $\begin{eqnarray*} N(x, \Omega) \end{eqnarray*}$ nun alle Vektoren, die diese Gleichung erfüllen? Oder gibt es noch mehr? Wenn ja, kann man das irgendwie "schön" beweisen?
Die Tangente schließt ja mit jedem Punkt der Kreisfläche einen Winkel $\begin{eqnarray*} \le 90 \end{eqnarray*}$ Grad ein und die Normale steht senkrecht auf der Tangente.

Über ein paar Ideen und Meinungen würde ich mich sehr freuen smile

Danke schonmal!

14.07.2015, 14:56

RavenOnJ

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RE: Normalenkegel bzgl Kreisfläche
Willkommen an Bord. Wink

Ich schätze es sehr, dass du dir von Anfang an Mühe gegeben hast, den Formelkram in Latex zu setzen. Freude

Zitat:

Original von GräfinZahl
Für eine Hausarbeit beschäftige ich mich mit Normalenkegeln $\begin{eqnarray*} N(x, \Omega) \end{eqnarray*}$ einer Menge $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ in einem Punkt $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ , welche wie folgt definiert sind (hier im $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ ) $\begin{eqnarray*} N(x, \Omega) = \{x^* \in \mathbb{R}^2 : \langle x^*, y-x \rangle \forall y \in \Omega\} \end{eqnarray*}$ .

Nach etwas Recherche, da ich den Begriff "Normalenkegel" noch nie gehört habe, bin ich auf folgende Defintion gestoßen:
$\begin{align*} N(x, \Omega) = \{x^* \in \mathbb{R}^2 \mid \langle x^*, y-x \rangle{\color{red}\le 0}, \forall y \in \Omega\}= \bigcap_{y\in\Omega}\{x^* \in \mathbb{R}^2 \mid \langle x^*, y-x \rangle\le 0 \} \end{align*}$

Die letzte Identität gilt, weil man das \forall auch als Mengendurchschnitt auffassen kann.

Zitat:

Letztlich bedeutet die Definition des Normalenkegels ja, dass alle Vektoren $\begin{eqnarray*} x^* \end{eqnarray*}$ gesucht werden, die mit allen Elementen des um $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ verschobenen Kreises $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ einen Winkel von mindestens 90 Grad einschließen.

Jein. Wenn du geschrieben hättest, "... des um $\begin{align*} x_0-x \end{align*}$ verschobenen Kreises um den Nullpunkt ...", dann könnte man das geometrisch so auffassen.

Zitat:

Aus der Schule ist mir die Definition einer Normale an einen Kreis mit Mittelpunkt $\begin{eqnarray*} m = (m_1, m_2)^\top \end{eqnarray*}$ in einem Punkt $\begin{eqnarray*} x = (x_1, x_2)^\top \end{eqnarray*}$ bekannt
$\begin{eqnarray*} x_2^* - x_2 = \frac{x_2-m_2}{x_1 - m_1} \cdot (x_1^* - x_1) \end{eqnarray*}$
Sind die Normalenvektoren aus $\begin{eqnarray*} N(x, \Omega) \end{eqnarray*}$ nun alle Vektoren, die diese Gleichung erfüllen?

Nein, die gesuchte Menge ist eine ganz andere. Was diese Gleichung beschreibt, ist die Gerade durch x und m, die notwendigerweise den Kreis im rechten Winkel ("normal") schneidet.

Zitat:

Oder gibt es noch mehr?

Ich würde erst mal drei Fälle unterscheiden: a) $\begin{align*} x\in\Omega \end{align*}$ , b) $\begin{align*} x\in\partial\Omega \end{align*}$ , wobei $\begin{align*} \partial\Omega \end{align*}$ der Rand von $\begin{align*} \Omega \end{align*}$ sein soll und c) $\begin{align*} x\not\in\Omega \end{align*}$ . Dabei soll $\begin{align*} \Omega:=B(x_0,r):=\{z\in\mathbb R^2\mid \left\vert z-x_0\right\vert\le r\} \end{align*}$ sein.

14.07.2015, 15:45

GräfinZahl

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RE: Normalenkegel bzgl Kreisfläche
Erst einmal danke für deine Antwort und das, wo du selbst noch nichts mit Normalenkegeln zu tun hattest.

Zitat:

Oh, ja. Du hast natürlich Recht! Da habe ich das $\begin{eqnarray*} \le 0 \end{eqnarray*}$ vergessen und kann es nun leider nicht mehr editieren Hammer

Zitat:

Jein. Wenn du geschrieben hättest, "... des um $\begin{align*} x_0-x \end{align*}$ verschobenen Kreises um den Nullpunkt ...", dann könnte man das geometrisch so auffassen.

Das verstehe ich nicht ganz. Warum verschiebe ich den Kreis um $\begin{align*} x_0-x \end{align*}$ ? In der Definition des Normalenkegels betrachte ich doch $\begin{eqnarray*} y-x, \forall y \in \Omega \end{eqnarray*}$ , also subtrahiere ich von jedem Punkt das gegebene $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Im verschobenen Kreis ist dann $\begin{eqnarray*} x_0 - x \end{eqnarray*}$ der Mittelpunkt.

Das mit der Normalengleichung habe ich auch nochmal überdacht. Ich muss die Normale an dem verschobenen Kreis im Nullpunkt betrachten und nicht die Normale am ursprünglichen Kreis an $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Dann ändert sich die Normalengleichung zu

$\begin{eqnarray*} x_2^* = \frac{m_2 - x_2}{m_1 - x_1} \cdot x_1^* \end{eqnarray*}$

In den Beispielen, die ich bisher gesehen habe (leider ohne genauen Lösungsweg), erfüllen die Elemente $\begin{eqnarray*} x^* \end{eqnarray*}$ des Normalenkegels $\begin{eqnarray*} N(x, \Omega) \end{eqnarray*}$ immer diese Gleichung. Daher frage ich mich, ob das ein genereller Zusammenhang ist.

Wenn ich für $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \langle x^*, y-x \rangle \le 0 \end{eqnarray*}$ den Mittelpunkt des ursprünglichen Kreises $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ einsetze, erhalte ich unter Verwendung der Normalengleichung eine Vorzeichenbeschränkung.

Zitat:

Also c) ist einfach, das ist nämlich definitionsgemäß schon die leere Menge.

14.07.2015, 16:15

GräfinZahl

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RE: Normalenkegel bzgl Kreisfläche
Ich kann ja mal eins von den Beispielen angeben, die mich auf den oben genannten Verdacht führen.

Betrachtet wird $\begin{eqnarray*} \Omega = B(0, \sqrt{8}) = \{x_1^2 + x_2^2 \le 8\} \end{eqnarray*}$ .
Dann gilt für $\begin{eqnarray*} \bar{x} = (2, 2)^\top \in \Omega \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} N(\bar{x}, \Omega) = \{(t, t) : t \ge 0\} \end{eqnarray*}$

Wenn ich mir jetzt die Normale von $\begin{eqnarray*} B(0-\bar{x}, \sqrt{8}) \end{eqnarray*}$ im Nullpunkt ansehe, komme ich auf
$\begin{eqnarray*} x_2^* - 0 = \frac{0 - (0-2)}{0 - (0-2)} \cdot x_1^* \end{eqnarray*}$ ,
also $\begin{eqnarray*} x_2^* = x_1^* \end{eqnarray*}$ und das gilt offenbar für alle $\begin{eqnarray*} x^* \in N(\bar{x}, \Omega) \end{eqnarray*}$

14.07.2015, 16:39

RavenOnJ

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RE: Normalenkegel bzgl Kreisfläche

Zitat:

Original von GräfinZahl

Das verstehe ich nicht ganz. Warum verschiebe ich den Kreis um $\begin{align*} x_0-x \end{align*}$ ? In der Definition des Normalenkegels betrachte ich doch $\begin{eqnarray*} y-x, \forall y \in \Omega \end{eqnarray*}$ , also subtrahiere ich von jedem Punkt das gegebene $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Im verschobenen Kreis ist dann $\begin{eqnarray*} x_0 - x \end{eqnarray*}$ der Mittelpunkt.

Möglicherweise missverstehen wir uns. Ich habe das Problem transformiert: Statt eines Kreises um $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ und den Normalenkegel $\begin{align*} N(x,B(x_0,r)) \end{align*}$ zum Punkt $\begin{align*} x \end{align*}$ betrachte ich einen Kreis um $\begin{align*} x_0-x \end{align*}$ und den Normalenkegel $\begin{align*} N(0,B(x_0-x,r)) \end{align*}$ zum Punkt $\begin{align*} 0 \end{align*}$ . Es gilt:
$\begin{align*} N(x,B(x_0,r)) = N(0,B(x_0-x,r)) \end{align*}$
Ich verschiebe also nicht den ursprünglichen Kreis $\begin{align*} B(x_0,r) \end{align*}$ , sondern den Kreis $\begin{align*} B(0,r) \end{align*}$ ("Kreis um den Nullpunkt") um $\begin{align*} x_0-x \end{align*}$ . Dies ist der Kreis $\begin{align*} B(x_0-x,r) \end{align*}$ . Der Normalenkegel besteht aus allen Vektoren, deren Skalarprodukt mit allen Vektoren aus $\begin{align*} B(x_0-x,r) \end{align*}$ kleinergleich 0 ist.

Zitat:

Das mit der Normalengleichung habe ich auch nochmal überdacht. Ich muss die Normale an dem verschobenen Kreis im Nullpunkt betrachten und nicht die Normale am ursprünglichen Kreis an $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ . Dann ändert sich die Normalengleichung zu

$\begin{eqnarray*} x_2^* = \frac{m_2 - x_2}{m_1 - x_1} \cdot x_1^* \end{eqnarray*}$

Dies ist eine Nullpunktsgerade mit der Steigung $\begin{align*} \frac{m_2 - x_2}{m_1 - x_1} \end{align*}$ . Sie geht durch den Punkt $\begin{align*} m-x \end{align*}$ , also den Mittelpunkt des Kreises $\begin{align*} B(m-x,r)= B(x_0-x,r) \end{align*}$ (wenn wir den Mittelpunkt m mit $\begin{align*} x_0 \end{align*}$ identifizieren).

Zitat:

In den Beispielen, die ich bisher gesehen habe (leider ohne genauen Lösungsweg), erfüllen die Elemente $\begin{eqnarray*} x^* \end{eqnarray*}$ des Normalenkegels $\begin{eqnarray*} N(x, \Omega) \end{eqnarray*}$ immer diese Gleichung. Daher frage ich mich, ob das ein genereller Zusammenhang ist.

Betrachtest du den Punkt $\begin{align*} m-x \end{align*}$ auf dieser Geraden, so ist $\begin{align*} \langle m-x,m-x\rangle > 0 \end{align*}$ (wenn m nicht der Nullpunkt ist). Der Ortsvektor zu diesem Punkt kann also nicht im Normalenkegel liegen.

Zitat:

Wenn ich für $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \langle x^*, y-x \rangle \le 0 \end{eqnarray*}$ den Mittelpunkt des ursprünglichen Kreises $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ einsetze, erhalte ich unter Verwendung der Normalengleichung eine Vorzeichenbeschränkung.

Dies solltest du im Zusammenhang mit dem eben Geschriebenen erläutern.

Zitat:

Also c) ist einfach, das ist nämlich definitionsgemäß schon die leere Menge.

Du meinst wohl eher a), denn wenn x im Kreis $\begin{align*} B(x_0,r) \end{align*}$ liegt bzw. der Nullpunkt im Kreis $\begin{align*} B(x_0-x,r) \end{align*}$ , dann gibt es zu jedem Vektor einen Vektor aus $\begin{align*} B(x_0-x,r) \end{align*}$ , deren Skalarprodukt größer 0 ist.

14.07.2015, 16:50

GräfinZahl

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RE: Normalenkegel bzgl Kreisfläche

Zitat:

Nein, ich meine c). Wir haben den Normalenkegel $\begin{eqnarray*} N(\bar{x}, \Omega) \end{eqnarray*}$ so definiert, dass für $\begin{eqnarray*} \bar{x} \in \Omega \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} N(\bar{x}, \Omega) = \{x^* \in \mathbb{R}^2 : \langle x^*, y - \bar{x}\rangle \le 0\} \end{eqnarray*}$ gilt. Ist $\begin{eqnarray*} \bar{x} \not\in \Omega \end{eqnarray*}$ , so ist $\begin{eqnarray*} N(\bar{x}, \Omega) = \emptyset \end{eqnarray*}$

Liegt $\begin{eqnarray*} \bar{x} \end{eqnarray*}$ im Inneren von $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ , so gilt $\begin{eqnarray*} N(\bar{x}, \Omega) = \{0\} \end{eqnarray*}$

Ich frage mich nun, ob es auch eine allgemeine Definition gibt, wenn $\begin{eqnarray*} \bar{x} \end{eqnarray*}$ auf dem Rand liegt.

14.07.2015, 17:05

GräfinZahl

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RE: Normalenkegel bzgl Kreisfläche

Zitat:

[quote]
Wenn ich für $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} \langle x^*, y-x \rangle \le 0 \end{eqnarray*}$ den Mittelpunkt des ursprünglichen Kreises $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ einsetze, erhalte ich unter Verwendung der Normalengleichung eine Vorzeichenbeschränkung.

Dies solltest du im Zusammenhang mit dem eben Geschriebenen erläutern.

[\quote]

Beim oben genannten Beispiel habe ich durch die Normalengleichung ja $\begin{eqnarray*} x_1^* = x_2^* \end{eqnarray*}$ erhalten. Wenn ich nun $\begin{eqnarray*} y = (0, 0)^\top \end{eqnarray*}$ setze in die Ungleichung betrachte, erhalte ich
$\begin{eqnarray*} 0 \ge \langle x^*, y - \bar{x} \rangle = x_1^* (0-2) + x_2^* (0-2) = -2 (x_1^* + x_2^*) = -2 \cdot 2 x_1^* \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} x_1^* = x_2^* \ge 0 \end{eqnarray*}$ und das sollte ja auch rauskommen.

14.07.2015, 17:22

RavenOnJ

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RE: Normalenkegel bzgl Kreisfläche

Zitat:

Original von GräfinZahl

Zitat:

Machen wir mal ein Beispiel und um die Diskussion zu vereinfachen, sei der Punkt $\begin{align*} \bar x:=0 \end{align*}$ definiert und der Mittelpunkt des Kreises sei $\begin{align*} s:= (s_1,0), s_1 > 0 \end{align*}$ . Es geht also um den Normalenkegel $\begin{align*} N(0,B(s,r)) \end{align*}$ mit $\begin{align*} r < s_1 \end{align*}$ , damit der Nullpunkt nicht innerhalb des Kreises liegt. Ich setze mal den Mittelpunkt sehr weit vom Nullpunkt entfernt und r=1. Es ist doch jetzt eigentlich klar, dass es eine Menge Vektoren x* mit $\begin{align*} x_1^*<0 \end{align*}$ gibt, deren Skalarprodukt mit allen Ortsvektoren aus dem Kreis < 0 ist, die also im Normalenkegel liegen. Damit wird $\begin{align*} N(0,B(s,r))\not=\emptyset \end{align*}$

Zitat:

Liegt $\begin{eqnarray*} \bar{x} \end{eqnarray*}$ im Inneren von $\begin{eqnarray*} \Omega \end{eqnarray*}$ , so gilt $\begin{eqnarray*} N(\bar{x}, \Omega) = \{0\} \end{eqnarray*}$

Das ist richtig. Ich hatte nicht beachtet, dass der Nullvektor immer zum Normalenkegel gehört.

14.07.2015, 18:07

GräfinZahl

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RE: Normalenkegel bzgl Kreisfläche
Da braucht man kein Beispiel angeben, das ist einfach eine Definitionssache, so wie $\begin{eqnarray*} 0! = 1 \end{eqnarray*}$ ist.
Für $\begin{eqnarray*} \bar{x} \not\in \Omega \end{eqnarray*}$ wird der Normalenkegel einfach nicht betrachtet und definitionsgemäß daher auf die leere Menge gesetzt.

Ich weiß nicht, wo du nach der Definition des Normalenkegels gesucht hast, aber in folgender Quelle wird er in Definition 2.4 nur für $\begin{eqnarray*} x \in C \end{eqnarray*}$ betrachtet.

[edit] Ich sehe gerade, dass ich keine Links angeben darf. Das Dokument heißt "Konvexe Optimierungsprobleme" und ist von der Uni in Düsseldorf. Gleich das erste Ergebnis bei Google, wenn man Normalenkegel sucht.

14.07.2015, 18:43

RavenOnJ

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RE: Normalenkegel bzgl Kreisfläche

Zitat:

Original von GräfinZahl
Da braucht man kein Beispiel angeben, das ist einfach eine Definitionssache, so wie $\begin{eqnarray*} 0! = 1 \end{eqnarray*}$ ist.
Für $\begin{eqnarray*} \bar{x} \not\in \Omega \end{eqnarray*}$ wird der Normalenkegel einfach nicht betrachtet und definitionsgemäß daher auf die leere Menge gesetzt.

Wo steht denn das bitte? Ich halte das für den einzig relevanten Fall, der dann wohl nicht einfach wegdefiniert wird.

Zitat:

Ich weiß nicht, wo du nach der Definition des Normalenkegels gesucht hast, aber in folgender Quelle wird er in Definition 2.4 nur für $\begin{eqnarray*} x \in C \end{eqnarray*}$ betrachtet.

[edit] Ich sehe gerade, dass ich keine Links angeben darf. Das Dokument heißt "Konvexe Optimierungsprobleme" und ist von der Uni in Düsseldorf. Gleich das erste Ergebnis bei Google, wenn man Normalenkegel sucht.

Meine Defintion habe ich u.a. hierher. Nur eines: Die Defintion in dem von dir angegebenen Link ist genau dieselbe, die ich benutzt habe.

Du erwartest jetzt wohl nicht, dass ich das auf die Schnelle durchlese. Und du erwartest hoffentlich auch nicht, dass ich mich auf die Schnelle in "Restringierte Optimierungsprobleme" einarbeite, womit ich noch nie zu tun hatte. Auch die Helfer im matheboard sind nicht allwissend. Später am Abend habe ich nochmal Zeit und guck mir das Script dann mal an.

14.07.2015, 19:01

GräfinZahl

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RE: Normalenkegel bzgl Kreisfläche

Zitat:

Du erwartest jetzt wohl nicht, dass ich das auf die Schnelle durchlese. Und du erwartest hoffentlich auch nicht, dass ich mich auf die Schnelle in "Restringierte Optimierungsprobleme" einarbeite, womit ich noch nie zu tun hatte. Auch die Helfer im matheboard sind nicht allwissend. Später am Abend habe ich nochmal Zeit und guck mir das Script dann mal an.

Ich habe nie erwartet, dass du dir das alles durchliest. Daher habe ich auch nur auf eine Definition verwiesen ...
Normalenkegel sind Instrumente, die bei der Lösung von restringierten Problemen nützlich sind. Man muss sich also nicht in das Thema einarbeiten.
Mir ist klar, dass nicht jeder alles wissen kann. Wenn ich die Lösung wüsste, bräuchte ich hier keinen Eintrag schreiben.
Ich erwarte auch nicht, dass jemand meine Frage beantwortet, der sich damit nicht auskennt. Du hast trotzdem darauf geantwortet und das ist wirklich nett. Aber ich hätte es auch akzeptiert, wenn du gesagt hättest "Damit kenne ich mich nicht, da kann ich dir leider nicht helfen." Völlig ok - aber mir zu unterstellen, dass ich irgendwelche Erwartungen habe, finde ich unfair.

14.07.2015, 19:10

GräfinZahl

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Das ist ein Screenshot aus dem Buch "Angewandte Funktionalanalysis" von Göpfert, Riedrich und Tammer.

15.07.2015, 03:03

RavenOnJ

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RE: Normalenkegel bzgl Kreisfläche

Zitat:

Original von GräfinZahl

Ich frage mich nun, ob es auch eine allgemeine Definition gibt, wenn $\begin{eqnarray*} \bar{x} \end{eqnarray*}$ auf dem Rand liegt.

Anscheinend ist es in der benutzten Definition so, dass als zusätzliche Bedingung an den Normalenkegel $\begin{align*} \bar{x}\in \Omega \end{align*}$ gefordert wird. $\begin{align*} \bar{x} \end{align*}$ muss also auf dem Rand von $\begin{align*} \Omega \end{align*}$ liegen, damit der Normalenkegel nichttrivial wird. Wenn $\begin{align*} \Omega \end{align*}$ in $\begin{align*} \bar{x} \end{align*}$ einen glatten Rand hat (glatt hier im Sinne einer eindeutigen Tangentialebene bei $\begin{align*} \bar{x} \end{align*}$ bzw. Tangente an den Kreis im $\begin{align*} \mathbb R^2 \end{align*}$ ), dann ist der Normalenkegel gerade nur der Strahl, der senkrecht zur Tangentialebene bzw. Tangente von $\begin{align*} \Omega \end{align*}$ weg verläuft. Dies ist die von dir angegebene Gleichung einer Nullpunktsgerade, wobei die Beschränkung auf die Halbgerade von $\begin{align*} \Omega \end{align*}$ weg gilt.

Ist der Rand nicht im obigen Sinne glatt, denn ist der Normalenkegel entsprechend der angegbenen Definition zu nehmen. Er ist der Dualkegel zum Tangentialkegel im Punkt $\begin{align*} \bar{x} \end{align*}$ und besteht aus allen Vektoren, die zu allen Vektoren aus dem Tangentialkegel einen Winkel von mindestens 90° haben.

15.07.2015, 20:15

GräfinZahl

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RE: Normalenkegel bzgl Kreisfläche
Ok, danke!

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