Beweis des Satzes von Miquel (Verallgemeinerung)

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gudde Auf diesen Beitrag antworten »
Beweis des Satzes von Miquel (Verallgemeinerung)
Meine Frage:
ich habe Probleme Bei einer Verallgemeinerung des Satzes von Miquel.

Es sei ein Dreieck abc mit den Seiten AB, AC, BC und seien Punkte A' auf BC, B' auf AC und C' auf AB. Dann gilt die drei Kreise schneiden sich in einem Punkt P.

Jetzt habe ich Probleme mit dem Fall dass P außerhalb liegt, aber A', B', C' auf den Seiten liegen.

Ich wäre um jede Hilfe dankbar.

Meine Ideen:
Mir ist der Beweis zu dem Sonderfall dass P im Dreieck liegt bekannt
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von gudde
Es sei ein Dreieck abc mit den Seiten AB, AC, BC und seien Punkte A' auf BC, B' auf AC und C' auf AB. Dann gilt die drei Kreise schneiden sich in einem Punkt P.

Von welchen drei Kreisen redest du da? Hast du einfach einen Satz bzw. eine Skizze weggelassen? verwirrt

Ok, ein Blick in die Wikipedia offenbart, was fehlt...
RavenOnJ Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Beweis des Satzes von Miquel (Verallgemeinerung)
Der Beweis geht etwas anders als der auf wikipedia. Man betrachtet zwar auch die jeweiligen Sehnenvierecke (SV), der Punkt P liegt jetzt aber in diesen SV nicht mehr gegenüber von allen Eckpunkten des Dreiecks, sondern nur in einem gegenüber (dies sei das SV zum Punkt C), während er zu den beiden anderen in den jeweiligen SV benachbart ist (hier die SV zu den Punkten A und B). Betrachte diese letzten beiden SV und benutze den Umfangswinkelsatz. Dann kannst du leicht zeigen, dass der Winkel, der im Viereck B'PA'C dem Punkt P anliegt sich mit dem Winkel am Punkt C zu 180° ergänzt, das Viereck B'PA'C also auch ein Sehnenviereck ist.
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