Definitheit (Hauptminoren/Eigenwerte)

15.07.2015, 01:24	Anne23	Auf diesen Beitrag antworten »
Definitheit (Hauptminoren/Eigenwerte) Meine Frage: Grüßt euch, ich soll von folgender Matrix die Definitheit angeben: 0 0 0 0 2 0 0 0 2 In der Lösung dazu steht, dass diese positiv semidefinit sei. Aber ich komm einfach nicht drauf. Meine Ideen: Ich dachte erst ich machs über die Hauptminoren. Die wären: H(1)=0, H(2)=02-00=0, H(3)=022+000+000-(020+000+00*0)=0 Da alle Hauptminoren gleich 0 sind, müsste die Matrix ja eigtl positiv/negativ semidefinit sein. Tja, denkste, im Skript steht, dass sie nur positiv semidefinit ist. Wenn ichs über die Eigenwerte mach, bekomm ich folgende raus (Diagonalmatrix, also Eigenwerte auf der Hauptdiagonale): u(1)=0, u(2)=2, u(3)=2 Tja, die Wären jetzt größer gleich 0, also lt. meinem Skript nur positiv semidefinit. Meine Frage ist jetzt nun, warum bekomme ich wenn ich über die Hauptminoren gehe etwas anderes raus als wenn ichs über die Eigenwerte mache?
15.07.2015, 07:45	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Du bekommst nicht etwas anderes heraus, du bekommst über die Hauptminoren nur weniger Informationen. Die einzige (symmetrische?) Matrix, die sowohl positiv als auch negativ semidefinit ist, ist die Nullmatrix. Die Hauptminoren in dem Fall sind zu grob um diese Diagonalmatrix von der Nullmatrix (und vielen anderen Matrizen) zu unterscheiden. Dass dort 0 rauskommt heißt also nicht, dass es sowohl pos. als auch neg. semidefinit ist, es ist äquivalent dazu, dass du die Hauptminoren danach fragst und sie mit Schulterzucken antworten. Eigenwerte reichen hingegen (von der symmetrisierten Matrix, falls es wie hier nicht sowieso schon symmetrisch ist) immer aus, aber die Berechnung ist üblicherweise aufwendiger -- bei Diagonalmatrix hat mans dann natürlich einfach.
15.07.2015, 09:52	Anne23	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo IfindU, danke! Da hast du mir schonmal sehr geholfen Eine Frage habe ich noch: Woran erkenn ich denn, ob ich den Hauptminoren vertrauen kann und nicht die Eigenwerte berechnen muss? (Letzteres kann nämlich in der Klausur ganz schön lang dauern :/)
15.07.2015, 10:23	Guppi12	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, du musst das Hauptminorenkriterium noch einmal nachschlagen, es gilt einfach nicht für Semidefinitheit. Nur wenn alle Hauptminoren strikt positiv sind (oder eben alternierend), gilt das Kriterium.
16.07.2015, 12:17	Anne23	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielen Dank für eure Antworten! Hab jetzt alles verstanden

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